Es posible que mi charla haya logrado suscitar su curiosidad hasta el punto de haberse quedado con ganas de más. Si es así, aquí le dejo algunos materiales relacionados con el tema:

• Materiales propios
  • Las charlas de mis pesadillas: la charla de 2023 que comenzó todo.
  • Así nace una charla Naukas: mis trucos para alinear propósito, contenido y formato.
  • Cosas que la ciencia puede aprender de las artes: con mención destacada al teatro.
  • A single rule for better talks: los sorprendentes efectos secundarios de ser estricto con el tiempo de una charla (en inglés).
  • Un doctorado en cinco pizarras: sobre el proceso creativo durante la redacción de un artículo científico.
  • ¿Cómo mejorar la comunicación entre las matemáticas y las ciencias de la vida?: un trocito de mi tesis doctoral que mereció ser traducido al español.
  • El día que el arte me ayudó a escribir un artículo de matemáticas: sobre ponerse uno fácil las cosas hablando el mismo lenguaje que su audiencia.
  • Matemáticas y malabares: más detalles sobre el mundo del circo y su impacto en mi carrera científica.
• Materiales ajenos
  • The craft of scientific writing. Michael Alley.
  • The craft of scientific presentations. Michael Alley.

Si quiere usted recomendar alguno más, a mí y a todos los lectores, por favor deje un comentario.

Una vez más, gracias por su atención.

La entrada Un payaso en un congreso fue escrita en Fuga de cerebros.

Y si te has quedado con ganas de más, aquí tienes el link a todas las charlas del evento.

La entrada Las charlas de mis pesadillas fue escrita en Fuga de cerebros.

Poco puedo contarles sobre qué son los tornados o cómo se forman. Sobretodo, poco puedo contarles que no les hayan contado ya. Lo que sí puedo compartir, con más probabilidades de que sea inédito, es el relato de mi experiencia. Aquí va:

Fue llegar y besar el santo. Aparcamos las bicicletas en el soportal de una iglesia, y nada más girarnos para salir, vimos la clásica imagen a la que nos tienen acostumbrados las películas. Una especie de embudo de color blanco grisáceo formándose debajo de la nube de tormenta que teníamos justo sobre nuestras cabezas. No tocaba el suelo. Giraba y cambiaba de forma, alargándose, acortándose. Todo sin hacer ruido alguno. Aquello empezó a llamar la atención de todo el mundo, y muchos nos vimos mirando alrededor, evaluando la seguridad de nuestro refugio por lo que pudiera pasar. Algunos grabaron vídeos como este. No faltaron tampoco los cuñados que empezaron a pontificar con sus “aquí no pasa nada”, “eso es un remolino”, y demás.

Al poco rato el embudo desapareció por completo, aunque la nube seguía girando y presentando un aspecto amenazante. Y enseguida comenzó a oírse un sonido estremecedor, que se te metía dentro del pecho. Era parecido al que hace un enjambre de abejas pero con la intensidad de un trueno. Una nube de escombros, algunos de ellos de gran tamaño, empezó a elevarse delante de nuestras narices, a unos 300 metros de dónde estábamos. Y además pronto quedó claro que aquel vertedero volador venía hacia nosotros. Curiosamente, todo el mundo se quedó callado. Ni gritos, ni siquiera una risa nerviosa.

Siguió un golpe de viento violentísimo, que arrambló con varias terrazas y partió varios árboles. Del cielo caían ramas, trastos y hasta tejas. Tengo un vídeo:

El gran angular hace que los escombros parezcan papelillos. Este otro vídeo hace más justicia al follón que se armó en un momento.

Y según llegó, se fue, dejando la ciudad hecha unos zorros en lo que debieron ser un par de minutos. Y eso que, según supimos después, había sido un tornado «flojito».

La entrada Mi primer tornado fue escrita en Fuga de cerebros.

Posees además una herramienta magnífica: un cerebro de primate. De Homo Sapiens para más señas, el Rolls Royce de los cerebros. Una herramienta que ha sido modelada por millones de años de evolución para ser excelente en cuestiones de interacción social, y bastante aceptable a la hora de entender el mundo que te rodea.

Y hete aquí que estás en Twitter, o en Facebook, o respondiendo a los comentarios de tu blog, cuando algo llama tu atención. Un usuario, a menudo sin identificación alguna, se está dirigiendo a ti. Puede que esté haciendo una consulta, puntualizando un error, e incluso puede que sus intenciones no estén del todo claras.

El mensaje es corto, algo ambiguo y parece requerir respuesta. No te cuesta imaginarlo proferido en tono imperativo, pero tampoco puedes estar seguro. Tu cerebro de primate, tan social él, quiere responder. Rápidamente te hace evocar aquella conversación satisfactoria y constructiva que tuviste con un desconocido por Twitter en 2013, y, con la esperanza de que se repita aquel milagro, respondes.

Al poco tiempo tu amigo invisible te responde. Tu respuesta no le ha satisfecho, aunque no queda muy claro por qué. Añade, además, tres preguntas nuevas, y formuladas de forma algo oscura.

A los dos minutos, sin darte tiempo a responder, llega una segunda respuesta. Aporta datos suficientes para confirmarte que tu misterioso contertulio no se ha enterado de nada. ¿Seguimos respondiendo?… a lo tonto llevamos ya quince minutos con este asunto… no sé… el caso es que, formalmente, la cosa parece un diálogo, pero… ¿lo es?

Al final respondes, y se repite el ciclo una vez más. El tono de anonimo1242 ya es indudablemente grosero, incluso parece traslucir cierto desequilibrio mental. Este pseudodiálogo, pues te resistes a considerarlo un diálogo auténtico, es, además, terriblemente aburrido. Acabas dejando de responder, y te pones a pensar en cosas más interesantes. Por ejemplo, en la triste suerte que corrió un eslógan tan bueno como: Don’t feed the troll (no alimentes al troll).

Tu cerebro te ha engañado, pero no seas duro con él. Se le hace muy cuesta arriba comprender que Internet ha introducido una nueva escala en tu entorno social. Me explico: tus comentarios ya no quedan restringidos al entorno familiar, o a los amigotes en el bar. Ahora adquieren una dimensión mucho mayor, potencialmente global. Vas a ser leído por montones de personas, y esto incluye a gente de todo tipo. Y no hablo solo de personas que se dirijan a ti, sino de todo el contenido que te llega cada día.

En tu bandeja de entrada, y en riguroso directo, tienes el último comentario racista de aquel senador republicano de Alabama, el rebuzno de ese obispo loco, la opinión controvertida del día del controvertido profesional de turno, etcétera. Piezas de información que, solo veinte años atrás, rara vez saltarían mucho más lejos de las páginas interiores de la prensa local. Pero ahí están, en tu bandeja de entrada, en tu timeline de Twitter, en tu muro de Facebook, … ¿no te hablan a ti?, ¿requieren respuesta también?

Probablemente en tu vida “desconectada” hables con tu vecino pero, ¿hablas con toda la gente que vive en tu bloque?, ¿en tu barrio?, ¿en tu ciudad?. ¿Por qué, entonces, concedes tu tiempo a cualquiera que te aborde en Internet?

Yo, que cada día que pasa soy a la vez más cínico y más feliz (ignoro si hay causación, pero la correlación es innegable), reivindico mi derecho a invertir mi tiempo como y con quién a mí me apetezca. Y para acabar con un cierre altisonante, nada mejor que citar a Napoleón:

“Hay ladrones a los que no se castiga pero que roban lo más preciado: el tiempo”

Queridos lectores, protejan el suyo.

PS: este artículo no está motivado por ninguna conversación reciente. De hecho, es una adaptación de un artículo que escribí hace años en mi blog personal. Hace ya unos años que sigo, con desigual fortuna, ciertas pautas de higiene en mis redes sociales. Me estoy planteando, incluso, usar más.

La entrada Parece un diálogo pero, ¿lo es? fue escrita en Fuga de cerebros.

El propósito de toda pizarra es guardar información de forma temporal, efímera (por eso las pizarras blancas se fastidian si no las borras a diario). Lo de poder borrar con facilidad hace que las pizarras sean un excelente medio para probar, modificar, …, en definitiva, ayudar a razonar.

Cuando quería conservar el contenido de alguna, le sacaba una fotografía. Repasando mis fotos, me he dado cuenta de que algunas de estas pizarras eran incluso bonitas. O al menos a mí me lo parecen. Pensé en publicarlas en Twitter, pero soy un romántico y prefiero los blogs. Además, hablando de cosas efímeras, aquí es más difícil que las acabe perdiendo.

Me tomo pues la libertad de dejarlas por aquí, aún riesgo de aburrir un poco al lector. Incluyo una, necesariamente, breve explicación (aunque menos breve de lo que hubiera sido en Twitter).

Pizarra número 1: dinámica de poblaciones

Con estos cálculos intentaba entender el modelo de dinámica de poblaciones conocido como Rosenzweig-MacArthur. Describe las poblaciones de varias presas (P) y varios depredadores (C, de Consumidor).

Tiene el aspecto complicado de las ecuaciones de arriba a la izquierda. Sin embargo, tras darle muchas vueltas, llegué a la conclusión de que todo se podía reducir al diagrama de abajo a la derecha, que representa el flujo de energía desde los vegetales (G) que comen las presas (Prey) hasta la descomposición (L) de los consumidores. El punto clave es que todo lo que está dentro de la línea punteada, tanto en el diagrama como en las ecuaciones, es un (sub)sistema cerrado, un sistema en el que no se pierde ni se gana energía.

No fue ningún descubrimiento. Nada más lejos. Simplemente es que yo no lo entendía, y esta pizarra me resolvió la papeleta.

Aquella pizarra fue el germen de lo que acabaría siendo una publicación: Neutral competition boosts cycles and chaos in simulated food webs.

Pizarras 2 y 3: diseñando un artículo científico

Resulta que una misma ecuación se puede escribir de muchas maneras. Un artículo científico es un medio de comunicación, y es necesario poner cuidado no sólo en cómo se escribe el texto, sino también las ecuaciones. Esta pizarra la usé para poner a prueba tres notaciones posibles, que mostré a varios compañeros de diferentes disciplinas.

¿He dicho ya que un artículo científico es un medio de comunicación? Como tal, se merece su propio guión, su propio storyline. En esta pizarra podemos ver todas las secciones, con algunos de los asuntos que quise tratar en cada una unidas por una línea temporal. Es la misma estrategia que sigo para preparar una charla.

Por cierto, la cosa acabó funcionando. Se convirtió en el artículo: Climbing Escher’s stairs: A way to approximate stability landscapes in multidimensional systems.

Pizarras 4 y 5: sincronización

Mi último artículo trataba de sincronización, el fenómeno que permite aplaudir al unísono, despertarse al amanecer o que nuestras dos piernas se muevan coordinadamente.

Es un asunto fascinante desde el punto de vista matemático sobre el que algún día hablaré largo y tendido. Al que no pueda esperar, le recomiendo el libro Sync, de Steven Strogatz, que además lo explica mil veces mejor de lo que yo sería capaz jamás.

Por el momento baste decir que la pizarra de arriba la dibujé cuando estaba intentando comprender de qué iba esto de la sincronización. Describe el modelo matemático más general posible para este tipo de fenómenos.

Y de lo general pasamos a lo particular. Este sistema sincronizado, ya no general sino concreto, me permitió dibujar el extraño diagrama de abajo a la derecha. Es lo que se conoce como un diagrama de fases, y además de ser más o menos bonito, contiene mucha información útil.

Más información, en Early warning signals for desynchronization in periodically forced systems.

En mi nuevo lugar de trabajo hay muchas cosas buenas, pero no hay pizarra. Es una de las cosas que añoro de mis tiempos de doctorando.

La entrada Un doctorado en cinco pizarras fue escrita en Fuga de cerebros.

La idea de que los problemas matemáticos siempre tienen una solución salta por los aires también en el colegio, cuando la aritmética básica da lugar al álgebra básica. Para entonces, hemos sido bombardeados tan masivamente con ejercicios de aritmética, que es fácil que la idea pase desapercibida.

¿Y qué es el álgebra?, pues ni más ni menos que el mundo de las ecuaciones y la misteriosa x. Una ecuación es, bastante literalmente, una pregunta. Cuando pedimos resolver x + 1 = 5 estamos preguntando qué puede haber oculto detrás de x para que la ecuación sea verdad. Al igual que sucede con las preguntas en lenguaje llano, las preguntas en forma de ecuación pueden tener varias respuestas, ¡o ninguna!… y este sencillo hecho ha tenido una enorme relevancia, nada menos, que en la historia de la ciencia.

Acompáñenme y veamos algunos ejemplos.

Problemas con dos soluciones y el descubrimiento de las antipartículas

La ecuación de arriba nos pregunta, «¿qué número al cuadrado nos da uno?». Como quizá sepan, esta pregunta tiene dos respuestas posibles: 1 y -1.

Una ecuación no muy distinta de esta fue la que se encontró Paul Dirac en 1928. Dirac condensó en una sola ecuación mucho de lo que se sabía hasta la fecha sobre mecánica cuántica y teoría de la relatividad. Esta ecuación se podía utilizar, entre otras cosas, para calcular la energía de una partícula. Y resultó ser una ecuación con dos soluciones… una positiva y otra negativa.

En un principio, Dirac pensó que la solución negativa no tenía sentido físico (una energía negativa es algo tan raro como una masa negativa). Sin embargo, no tardó en darse cuenta de que todo aquello tenía un significado más profundo: significaba que podían existir partículas con las cargas «invertidas», como por ejemplo electrones positivos (positrones).

Estas extrañas «antipartículas», de hecho, se detectaron experimentalmente tan sólo 4 años después. En 1933 esta predicción le valió a Dirac el premio Nobel de física, que compartió con Erwin Schrödinger.

Hoy en día entendemos los positrones lo suficientemente bien como para poder utilizarlos en aplicaciones de radiofísica médica. Todo un logro si tenemos en cuenta que hablamos de unas partículas cuya mera existencia se «descubrió» gracias a una ecuación con dos soluciones.

Problemas con cero soluciones y el nacimiento de una nueva rama de las matemáticas

Hay solamente dos maneras de no tener una solución: tener más de una… o tener cero. Suena misterioso, pero no lo es tanto. No olvidemos que una ecuación es una pregunta. Y no es difícil inventarse una pregunta que no tenga solución, como por ejemplo: «¿qué ser humano vivo tiene una edad mayor de 300 años?» o «¿en qué país asiático se encuentra la ciudad de Palencia?».

La ecuación sin solución más importante de la historia de las matemáticas es esta:

El problema que tiene esta ecuación es que ningún número al cuadrado puede ser negativo. Al menos no ningún número «normal». O lo que es lo mismo, la raíz cuadrada de un número negativo no tiene sentido. Al menos no un sentido normal.

En el siglo XVI, Girolamo Cardano se dió cuenta de que inventarse una solución para esta ecuación podía resultar práctico para expresar que se había topado con la raíz de un número negativo. De modo que, literalmente, se inventó un nuevo número, que llamaremos i, y lo definió como «el número cuyo cuadrado es menos uno».

Han leído bien. Cardano se inventó la solución. ¿Vaya morro, no?

Lo bonito del caso es que podemos utilizar operaciones que ya conocemos sobre i. Es como si una nueva ficha hubiera entrado en nuestro tablero de ajedrez. Podemos, por ejemplo sumarlo a un número «normal» para obtener lo que se conoce como un número complejo (por ejemplo 2 + i o 5 – 3i), y hacer operaciones con ellos. Es un objeto matemático muy sencillo, que invita a «jugar» con él.

Sucesivos matemáticos como Euler, Wessel, Argand o Gauss jugaron, y mucho, con estos números. Los operaban, los representaban, y se atrevieron incluso a meterlos dentro de funciones como el seno, el coseno o la exponencial… a ver qué pasaba (no muy distinto a cuando un niño tira cosas al suelo para ver si se rompen). Conceptos como el de derivada o integral de una función tuvieron que ampliarse para aceptar este tipo de números y… lo que sucedió a continuación fue alucinante.

Si dejamos que las funciones trabajen con números complejos, hay montones de teoremas matemáticos que, lejos de complicarse, se simplifican. También hay operaciones que de pronto se vuelven más fáciles.

La contribución de los números complejos va más allá del mundo de la matemática abstracta. Tienen aplicaciones directísimas en problemas prácticos tan variados como la propagación de calor, la transmisión de ondas, la electrónica o el diseño de alas de avión.

No es mala contribución para un número inventado.

Problemas con infinitas soluciones

Han leído bien. Existen problemas con infinitas soluciones. Es más, estoy seguro de que conocen muchos. ¿Les suena esta ecuación?

Es la segunda ley de Newton y, si conocemos la fuerza F, nos sirve para calcular el movimiento de una masa puntual. Por ejemplo, si la fuerza resulta ser el peso (esto es, la fuerza de la gravedad), la segunda ley de Newton se reduce a:

Aquí viene lo bonito. Si resolvemos esta ecuación, obtendremos las ecuaciones de movimiento de cualquier objeto pequeño en caída libre. Pero… un objeto en caída libre puede caer de muchas maneras. Puede comenzar volando hacia arriba, como la pelota de un malabarista, o puede comenzar con velocidad nula, como un vaso que se cae de una mesa. Puede caer, de hecho, ¡de infinitas maneras!

Resolver esta ecuación es un pelín complicado, pero seguramente el lector recuerde algo llamado ecuación del «movimiento uniformemente acelerado». Se trata de la llamada «solución general» de la ecuación de caída libre que tenemos entre manos. La estudiábamos en el instituto, y tiene este aspecto:

Dependiendo de los valores de x0 (que representa la posición inicial) y de v0 (la velocidad inicial) La partícula se moverá de una forma u otra. ¿Y cuántas posibles combinaciones de x0 y v0 existen?, exacto, ¡infinitas! En la gráfica de abajo podemos ver algunas de ellas.

¿Significa esto que nuestra solución general es inútil?, para nada. Incluso sin conocer la solución concreta, de la solución general podemos deducir muchas cosas. Para empezar, todas las soluciones tienen «la misma pinta». Vemos que un objeto en caída libre no puede oscilar, o que si esperamos el tiempo suficiente, todo termina por caer.

Y es que las matemáticas, queridos lectores, distan mucho de ser el terreno árido que muchos tienen en mente; ese terreno en el que A lleva inexorablemente a B. Las cosas no siempre son tan directas ni tan simples. Por fortuna.

La entrada Cuando los problemas no tienen (una) solución fue escrita en Fuga de cerebros.

Releyendo aquella primera entrada (cosa que no recomiendo, pues no es especialmente buena) me vienen un montón de recuerdos a la cabeza. A ustedes probablemente no, claro, pero les describiré el principal: la incertidumbre. Por aquel entonces casi todo estaba por determinar, desde dónde iba a vivir hasta de qué iba a tratar mi tesis. Por no saber, no sabía ni las caras ni los nombres de la gente que iba a tener alrededor. Lo único seguro era que este era un compromiso de 4 años, y que mi aventura empezaba en menos de 24 horas.

El recuerdo que más me sorprende es el de lo tranquilo que estaba entonces. Quizás porque no sabía nada sobre algunas realidades que me sorprendieron enormemente, como por ejemplo que publicar cuesta dinero y tiene mucho de azar (aunque reconozco que no se me ocurre una alternativa mejor). O que algunas personas, pocas por suerte, odian a cualquier extranjero sin más motivo que el serlo (el premio al insulto xenófobo más creativo se lo lleva, por goleada, el tipo que me llamó «puto croata» en un tren). O lo duro que es pasar temporadas largas sin hablar tu propio dialecto (sí, el castellano tiene dialectos, como descubrí dolorosamente intentando contar chistes a un mexicano). O que la depresión y el síndrome del trabajador quemado son una auténtica pandemia entre los estudiantes de doctorado (por suerte a mí no me pilló, pero es algo que clama al cielo).

Tampoco hay que dramatizar, hacer un doctorado en el extranjero no es como trabajar en una mina de azufre. Es más, algunas cosas han resultado ser menos duras de lo que esperaba. Por ejemplo, aunque se echa de menos a los amigos y la familia, la cosa ha sido llevadera (al menos en mi caso) gracias a las telecomunicaciones. El temido clima del norte de Europa, además de no ser para tanto, se ve compensado con un maravilloso paisaje verde. Y la comida… bueno… mejor cocinar en casa.

Si la reproducimos lo suficientemente rápido como para emborronar algunos detalles menores, la historia de mi doctorado es una historia de éxito: el 15 de Junio de este extraño 2020 obtuve mi título de doctor (por videoconferencia), con la tesis titulada «Cycles and interactions: A mathematician among biologists» («Ciclos e interacciones: un matemático entre biólogos», disponible pública y gratuitamente aquí para aquellos de ustedes tan locos como para querer leerla).

Hablando de títulos de prestigio: en estos años también me saqué el carnet de conducir (coches, no camiones como hubiese querido mi abuela).

Lo curioso es que, lo crean o no, no tengo la sensación de saber una palabra más sobre biología ni sobre matemáticas de las que sabía en 2015. Juro que no es falsa humildad. Aún me cuesta, incluso, contar en pocas palabras de qué trata mi tesis, cosa que me cabrea bastante. Sin embargo, sobre gestión de tiempo, programación científica, peleas con editores, lengua holandesa o normas de circulación en bicicleta podría hablar durante horas. Como suele suceder, se aprende más del proceso que del resultado.

Han pasado 5 años y aquí sigo. Muchos me habéis preguntado si voy a regresar y otros tantos incluso habéis dado por sentado que lo haré. Es normal, pues este suele ser el deseo, muy lógico y legítimo, de una mayoría de españoles emigrados. Pero yo soy de los raros: me quedo indefinidamente. Y lo rubrico con hechos rotundos: hace poco me compré un taladro, una caja de herramientas y un frigorífico nuevo. Hasta una paella de 70 cm de diámetro tengo. La razón es sencilla y nada tiene que ver con ránkings de Shanghái ni políticas científicas de aquí o allá. Simplemente soy feliz aquí.

Otro efecto secundario positivo de no regresar es que no tendré que cambiar el nombre a este blog. Seguiré escribiendo por aquí mientras ustedes quieran leerme. ¡Ah!, y no teman. A pesar del texto de hoy, esta su casa no se convertirá en un blog de temática introspectiva. Tengo programada otra entrada con material del bueno para mañana mismo, sobre matemáticas, para celebrar el aniversario como es debido: sin turras y con ciencia.

La entrada Cinco años de fuga fue escrita en Fuga de cerebros.

He de reconocer que acepté la invitación con algo de escepticismo, pues esto de mezclar arte y ciencia no siempre sale bien. Sin embargo, bastó un breve vistazo a su portfolio para entusiasmarme. Su animación Extrapolate, particularmente, me pareció un ejemplo magistral y de excelente gusto de hasta qué punto arte y ciencia pueden ir de la mano.

Rijpma me contactó porque quería saber más sobre conceptos como oscilaciones, resonancia y sincronización. Más concretamente, estaba interesado en fenómenos periódicos que se afectan los unos a los otros (como, por ejemplo, el ciclo día-noche afecta a los ciclos de sueño). Con mi tesis doctoral sobre ciclos e interacciones recién depositada, le parecí la persona adecuada con la que hablar.

Curiosamente, en conversaciones posteriores descubrí que él también se acercó a mí con algo de escepticismo, debido a la reputación de los matemáticos de ser gente algo difícil de tratar (hace años me hubiera revelado contra esta afirmación, pero a día de hoy… mejor me callo, jeje).

Nos reunimos tres o cuatro veces en la cafetería del campus, simplemente a charlar. Aquellas conversaciones, además de muy agradables, fueron más productivas que muchos cursos y talleres. Un día hablamos sobre los sólidos platónicos y la música de las esferas. Empezó tomando notas y dibujando diagramas… y acabó construyendo esto:

Diseñar algo en torno al concepto de sincronización fue más complicado. Finalmente, decidió abordarlo desde el punto de vista de los «procesos por turnos». ¿El resultado?, esta enorme e hipnótica instalación:

Ambas obras, junto con otras de diferentes artistas, fueron expuestas en el campus como parte del proyecto de arte itinerante MIR (link, en neerlandés).

Aportar mi granito de arena a estos proyectos ha sido una de las cosas más agradables que me ha traído el mundo de las matemáticas.

La entrada Johan Rijpma, un artista muy matemático fue escrita en Fuga de cerebros.

Pero, ¿qué es un logaritmo*? Aquí viene el primer problema: la definición con palabras cotidianas del logaritmo es casi un trabalenguas:

El logaritmo del número x es aquel número y tal que 10 elevado a y nos da x

¿Horrible, verdad? En mis tiempos de profesor, esta otra «definición» siempre me funcionó mucho mejor. El logaritmo de x es la respuesta a esta pregunta:

El concepto queda aún más claro con unos pocos ejemplos:

• log(10) = 1, porque 10 elevado a 1 es 10
• log(100) = 2, porque 10 elevado 2 es 100
• log(1000) = 3, porque 10 elevado a 3 es 1000
• log(10000) = 4, porque 10 elevado 4 es 10000

¿Y cuánto valdrá, por ejemplo, log(31)?, pues este es más difícil de hacer sin una calculadora, pero es razonable esperar que esté entre log(10) y log(100), esto es, será un número entre 1 y 2. ¿Y log(524)?, pues así, sin calculadora, sólo puedo decir que estará entre 2 y 3.

Aquí viene la observación clave: mientras que x aumentó de 10 a 100, su logaritmo sólo aumentó de 1 a 2. Para llegar a 3, ha habido que esperar a que x llegue a 1000. Al 4 no se llega hasta 10000. En resumen: el logaritmo de x aumenta mucho más despacio que x.

¿Y esto por qué es útil?

Pongámonos en la piel de un epidemiólogo. Cada día están recibiendo datos actualizados del número de casos de infecciones, un número que, por desgracia, crece cada vez más rápido en las primeras fases de la epidemia. Si representamos información como esa en escala lineal (la escala a la que todos estamos acostumbrados), los datos correspondientes a hace unos días quedan completamente opacados por el enorme tamaño de los actuales. La escala logarítmica arregla esto, como mostramos en la imagen de abajo.

Esto es especialmente importante cuando se comparan resultados entre, por ejemplo, diferentes países. Estos días todos hemos oído expresiones como «España está en la misma situación que Italia hace unas semanas». Si queremos visualizar esto gráficamente, representando los datos en escala lineal no vamos a ver gran cosa, mientras que en escala logarítmica vemos todo más claramente (ver abajo). Y, al menos lo que yo veo, no resulta del todo tranquilizador.

Para los que quieran hilar más fino

El lector más inquisitivo se estará preguntando: ¿y por qué el logaritmo?, ¿acaso no hay otras funciones de x que aumenten mucho más despacio que el propio x? Sí, sí que las hay, pero el logaritmo funciona especialmente bien.

La razón por la que usamos precisamente un logaritmo es porque los epidemiólogos han establecido que la tasa inicial de crecimiento del número de casos es de un 33% diario (lo de tasa inicial es importante, ya que esta tendencia acabará por reducirse**). Esto equivale a multiplicar por 10 el número de casos cada ~8 días. Esto es, el número de casos crecerá inicialmente como 10 elevado al tiempo pasado medido en periodos de 8 días. Esto significa, entre otras cosas, que se tarda el mismo tiempo en pasar de 1 a 10 casos, que de 10 a 100 (8 días en ambos casos).

En escala logarítmica, gracias a la capacidad del logaritmo para «deshacer» potencias de 10, un incremento a tasa fija se convierte en una línea recta (línea punteada en el gráfico de arriba). El objetivo prioritario de las autoridades es hacer que las curvas crezcan más despacio que ese 33% diario lo antes posible. Es decir, que estén menos inclinadas que la línea punteada.

No hablaremos aquí de otros problemones derivados de comparar datos de diferentes países. Entre estos están, por citar algunos ejemplos, los ajustes de la escala temporal (¿cómo comparar dos series de datos si en una la crisis empezó más tarde que en otra?), los ajustes por densidad de población (¿cómo comparar la gravedad de la situación en países con diferente población?) y, quizá el más importante, ¿cómo comparar datos si cada país usa un criterio diferente (y a menudo cambiante) para establecer que un paciente está infectado?

*: hablaré aquí solamente de logaritmos decimales.

**: y no sólo por que se están tomando medidas, sino porque la cantidad de personas susceptibles de enfermar no es ilimitada.

Referencias

• Hilo de Twitter de John Burn-Murdoch (en inglés), analista de datos del Financial Times.

La entrada ¿Qué es una escala logarítmica? fue escrita en Fuga de cerebros.

Escribo esto al comienzo de la crisis del COVID19 en Europa. No soy médico, de modo que el lector no encontrará aquí ningún consejo de salud ni sobre cómo sobrellevar estos días extraños. Lo que sí soy es matemático (o algo parecido). Si sientes curiosidad por cómo los epidemiólogos hacen predicciones acerca de la evolución de una enfermedad infecciosa, este texto quizá la satisfaga.

Probablemente hayas oído que el número de infecciones está creciendo «exponencialmente». Aunque en el lenguaje común «exponencial» parece significar «más rápido que ayer», en lenguaje matemático tiene un significado mucho más preciso. Tanto, que existe toda una rama de las matemáticas dedicada a estudiar la progresión de enfermedades infecciosas: la epidemiología matemática. Y las curvas son mucho más interesantes que exponenciales. Aquí veremos uno de sus modelos más básicos.

Modelo de Kermack – McKendrick

El modelo más célebre de propagación de una enfermedad es el de Kermack y McKendrick, y data de 1927. Se le suele llamar modeo SIR, debido a los nombres de sus tres variables de estado:

• S: la población de individuos susceptibles (de contraer la enfermedad)
• I: la población de individuos infectados
• R: la población de individuos recuperados

El modelo tiene este aspecto:

Pero no te dejes amilanar por las ecuaciones. Es posible entender los detalles de este modelo matemático usando una imagen mental: la de unos tanques de agua colocados como en la figura de más abajo. In esta figura, toda la población está en el «tanque suceptible». Nadie está infectado, de modo que nadie puede contagiarse y todo va bien.

¿Qué sucede si aparece una enfermedad? Esto es, ¿qué pasa si la población de infectados no es cero? Pues… que se abren los grifos.

Las ecuaciones de más arriba no son más que una descripción de cómo de abierto o cerrado está cada grifo. En particular, el grifo de arriba sirve para vaciar el «tanque de susceptibles», y para llenar el «tanque de infectados». Ese maldito grifo representa el contagio, y la magnitud de su flujo, r·S·I , es mayor cuanto mayor sea la cantidad de gente susceptible e infectada (piensa en ello, ¿tiene sentido?). La constante r representa la velocidad relativa de contagio, y será más alta para enfermedades más contagiosas. El grifo de abajo vacía el «tanque de infectados». Su flujo tiene una magnitud de a·I, de modo que a representa la tasa de recuperación relativa. Ver imagen más abajo.

Con esta imagen en mente, las ecuaciones de más arriba cobran vida (fíjate que si el grifo vacía el tanque, su flujo correspondiente será negativo).

¿Y qué pinta tienen las soluciones?

Pues eso dependerá de la cantidad inicial de susceptibles, infectados y recuperados. Y sobretodo, de los valores de los parámetros r y a. Clickando en la imagen puedes acceder a una simulación interactiva (código fuente aquí).

¿Y esto para qué sirve?

El modelo SIR es un modelo extremadamente sencillo para un fenómeno muy complejo (si quieres más, echa un ojo a este artículo de Francis). Aún así, nos enseña un par de lecciones valiosas. Jugando con las tasas de contagio (r) y recuperación (a) la forma de las curvas cambia.

No es difícil imaginar que reducir r (menor tasa de contagio) y/o aumentar a (mayor tasa de recuperación) será bueno. Su efecto principal es aplanar la curva de contagio (la de color rojo), distribuyendo el número de casos en el tiempo y evitando así una potencial saturación del sistema sanitario. ¡Abre el applet interactivo y compruébalo tú mismo!

¿Y cómo aplanamos la curva? Bien, aumentar a (la tasa de recuperación relativa) no está en nuestras manos todavía, pues de momento no hay cura para el COVID19. Una vacuna podría reducir enormemente la población susceptible, … pero todavía no existe tal vacuna. Lo que sí está en nuestras manos es reducir r (la tasa de contagio), quedándonos en casa y minimizando nuestras interacciones sociales.

Te lo ha dicho tu madre, te lo han dicho tus amigos, te lo dicen las autoridades y ahora te lo dicen las matemáticas: quédate en casa.

Mucha fuerza para todos.

Referencias

• Kermack, W. O. and McKendrick, A. G. “A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics.” Proc. Roy. Soc. Lond. A 115, 700–721, 1927.
• Las matemáticas vigilan tu salud. Clara Grima y Enrique F. Borja.
• Murray, James D. Mathematical Biology I. An Introduction. 3 Vol. 17. New York: Springer, 2002.
• Este y otros modelos más elaborados pueden verse en Wikipedia y en La ciencia de la mula Francis

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