–Claramente es un guiño a Alicia en el País de las Maravillas, Ven.

–Vale, profeta, el propio Morfeo le ha dicho a Neo que si toma la píldora roja entrará en la madriguera del conejo blanco y llegará al País de las Maravillas, o sea, a Matrix.

Nuestros amigos Sal y Ven, que han crecido mucho desde la última vez que estuvimos con ellos, han estado viendo, como ya habrás imaginado, la película Matrix. Cuando el mayor, Sal, habla del guiño al libro de Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas, se refiere a una de las primeras escenas de la película en la que el protagonista, Neo, recibe un mensaje en su ordenador:«Follow the white rabbit» («Sigue al conejo blanco»). Y ya, no contamos más que no queremos hacer spoiler para aquellos que aún no la hayáis visto.

–No te pongas así,  Ven, solo era un comentario por si no te habías dado cuenta.

–Ya, porque tú eres más listo, ¿no?

–Anda ya, no seas susceptible y dramático. ¿Tú que harías en el lugar de Neo? ¿Elegirías la píldora azul y seguirías viviendo en el mundo que conoces sabiendo que no es real? ¿O te tomarías la píldora roja para seguir al conejo blanco?

–Huy, píldoras y conejos blancos… –Mati entraba en ese momento en la sala –. No sé si me va a gustar esta conversación.

–Ay, hola Mati, no te escuchamos entrar. –dijo Ven y se acercó a saludar con un beso a su amiga.

–Hablábamos de Matrix y de las píldoras que Morpheus le ofrece a Neo –añadió su hermano mientras se acercaba a saludar también. Gauss no dijo nada porque  estaba dormido, se quedó frito en cuanto empezó la película. Sí, es un perro sin sensibilidad para estas cosas pero le queremos igual, ¿eh?

–Vaya, eso me tranquiliza –dijo la pelirroja guiñando un ojo  y añadió–. No quiero que bailéis con ningún conejo blanco.

Los dos hermanos se miraron extrañados uno al otro primero y luego se quedaron mirando con esa misma expresión a Mati.

–Bah, no me hagáis caso, simplemente me acordé de una cosa que no viene al caso.

–Pues ya nos la tienes que contar, ya sabes –apostilló Ven también con un guiño.

–Vaaaale, os la cuento. Tiene que ver con Michael Jackson.

Sal y Ven se miraron mitad sorprendidos mitad expectantes, con las narices arrugadas. Es una pena que Gauss siguiera dormido porque él adora las canciones del rey del pop y siempre movía la cola cuando pronunciaban su nombre. Mati continuó:

–Como sabéis, Michael murió en el verano de 2009 a causa de una sobredosis de medicamentos que le administró su médico personal para que pudiese dormir. Pues bien, parece ser que el detonante para la muerte pudo ser un medicamento, el propofol, que se usa principalmente como anestésico en los hospitales y, por lo tanto, muy potente.

–Muy bien, ¿y qué tiene que ver con el conejo, Mati? –preguntó Ven.

–Ah, eso, claro. Alguna gente le llama ‘bailar con el conejo blanco’ a la sensación que experimentan cuando les inyectan proponol. Supongo,yo no lo he probado ni ganas, que porque sienten que caen por una madriguera hasta que se quedan dormidos. Y, de hecho, cuando juzgaron a  Conrad Murray por la muerte de Michael Jackson, en la sala del tribunal alguien, no sabemos quién, dejó un conejo blanco de peluche cerca de donde se sentaba él.

–Vaya historia, Mati –dijo Sal –, ¿todo eso se te viene a la cabeza cuando oyes hablar de un conejo blanco? ¿No es más fácil que te acuerdes solo de Alicia? Los matemáticos sois raros…

Mati estalló en una carcajada y trató de defenderse:

–No, hombre –dijo entre risas –. A los matemáticos si nos hablas de conejos pensamos, ipso facto, en Fibonacci, ¡claro!

–¡Claro! –exclamó Ven –, la sucesión de Fibonacci. Ya me acuerdo. Nos la  explicaste con conejos hace tiempo.

–Oh, sí, hace mucho tiempo, eráis muy pequeños… –Mati dejó escapar un suspiro.

–Bueno, pero lo que necesito que recordéis hoy es cómo se calculaban los términos de la sucesión, ¿os acordáis?

–Sí, claro –se apresuró a contestar Sal –, se empieza con el 0 y el 1 y a partir de ahí cada término es la suma de los dos términos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.

–No, Mati nos enseñó empezando con 1 y 1 –interrumpió Ven –, porque empezamos con una pareja de conejos. Pero, bueno, da lo mismo, salvo el primer 0 la sucesión es la misma.

–Ajá, perfecto. Ahora necesito un tablero de ajedrez y una moneda –continuó Mati –. Bueno, algo más simple, una hoja de papel cuadriculado y una moneda.

Ven fue a su cuarto a buscar lo que había pedido Mati, Sal aprovechó para acariciar a Gauss que se acababa de despertar y, bueno, para escaquearse de subir a buscar el papel cuadriculado. Cuando el pequeño bajó con el papel, Mati sacó una moneda y les propuso:

–Os voy a proponer un juego, se llama el juego de Wythoff. Sobre este papel cuadriculado vamos a poner, al azar, nuestra moneda en una de los cuadrados. Por turnos, vais a mover la moneda de alguna de las 3 formas que os propongo: (1) hacia abajo todas las casillas (cuadrados) que queráis, (2) hacia la izquierda todas las casillas que queráis o (3) en diagonal,  hacia la izquierda y hacia abajo, todo lo que queráis. Gana el que consiga llegar con la moneda a la meta que está en la casilla más a la izquierda y más abajo, la que he coloreado de rojo.

–Parece fácil… –dijo Ven haciéndose el interesante.

–Aún no he terminado de proponeros el juego –continuó ella –. Os digo que en este juego están escondidos los conejos de Fibonacci, ¿os atrevéis a buscarlos?

–¿Cómo que se han escondido los conejos, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Eso es precisamente lo que tenéis que averiguar, ¿dónde y cómo se han escondido?

–Supongo que te refieres a la sucesión de Fibonacci –apuntó Ven –, pero tampoco se me ocurre cómo. Porque en principio, el número de casillas que elijamos para cada movimiento Sal y yo no tienen por qué seguir ninguna regla, ¿no?

Mati asintió victoriosa, los chicos se quedaron mirando el papel y Gauss ladró solo para reclamar un poco de atención, se había despertado mimoso y nadie le hacía caso. Al cabo de unos minutos, la pelirroja les dijo:

–Os lo voy a contar, no es fácil. De hecho, un pelín rebuscado pero es maravilloso. Lo primero que haremos es preguntarnos si este juego siempre tiene ganador, es decir, ¿la partida puede quedar en tablas? ¿Puede haber empate?

–No, uno de los dos jugadores seguro que gana –dijo Sal –, el juego tiene que terminar, porque solo se puede ir hacia abajo y hacia la izquierda, no se puede volver atrás..

–Eso es –confirmó ella –, por lo tanto tenemos  que el juego es finito (no podemos jugar indefinidamente) y no puede acabar en empate. Con estas dos condiciones (finito y sin empate), y gracias a nuestro John Nash, sabemos que para este juego uno de los jugadores tiene siempre una estrategia ganadora: uno de los dos tiene movimientos que le garantizan ganar.

–¿Y cuál es la estrategia ganadora, Mati? –preguntó Ven.

–Eso no nos lo dice Nash pero vamos a construirla nosotros. Paso a paso.

–Vamos –añadió Sal impaciente. Gauss ladró con ganas para insuflar energía a sus dueños.

–Lo primero que haremos –comenzó a decirles Mati –será ponerle nombre a las casillas del tablero para poder referirnos a ella. A la casilla de la meta la nombramos (0,0) y a partir de ella nombramos a las demás con un par ordenado (a, b) en el que a indicará la fila en la que está (comenzando en 0 para la fila de abajo) y b nos dirá en qué columna está (comenzando en 0 para la columna más a la izquierda). Nos quedaría algo así:

–Lo que parece claro es que si un jugador deja la moneda sobre la misma fila, sobre la misma columna o sobre la misma diagonal que ocupa la meta, el siguiente gana en un solo movimiento –continuó la pelirroja –. Marcamos esas posiciones en amarillo en nuestra cuadrícula, ninguna de ellas sería una posición deseable para poner la moneda en nuestro turno, porque le daríamos el triunfo a nuestro contrincante. Todas las casillas amarillas serán casillas perdedoras.

–Las amarillas son casillas losers –interrumpió Ven haciéndose el chulito.

–Calla, Ven –le cortó su hermano, impaciente por conocer la estrategia ganadora.

–No, me gusta –dijo Mati –: las llamaremos casillas losers porque si dejamos la moneda en alguna de ellas le daremos el triunfo a nuestro adversario.

Ven sonrió de medio lado con aire de triunfador, Gauss se puso al lado de Sal. Él es así, nunca le gustaron demasiado los anglicismos.

–Si os fijáis –siguió ella –, hemos descubierto dos casillas ganadoras: la (1,2) y la (2,1).

–¡Las llamaremos casillas pobediteli! –gritó Sal.

Mati, Ven y Gauss le miraron con los ojos de par en par esperando que explicara por qué ese nombre. El gafotas les dijo:

–Es como se dice ganadoras en ruso, a mí me gusta más en ruso que en inglés.

–¡Pero esa palabra es muy complicada, gafotas! –se quejó el pequeño.

–No, de hecho, he elegido esa que, en realidad, significa ganadores porque ganadoras sería vyigrysh que sí que es más difícil de pronunciar.

–¿Has aprendido ruso, Sal? –le preguntó Mati.

–No, lo he buscado en el traductor de Google mientras coloreabais de amarillos las losers –respondió él y añadió –. Acepto que las llamemos casillas pobes que es más cortito pero inspirado en el ruso, ¿vale, Mati?

–Por mí, está bien, Mati –dijo Ven al que, en el fondo, le molaba la idea de su hermano. Gauss se puso junto a Mati, no tenía una opinión formada sobre adoptar palabras rusas en el vocabulario pero suele ser así, equidistante cuando nota tensión en el ambiente.

–Muy bien –dijo ella –, como os decía hemos encontrado dos casillas ganadoras, digo dos casillas pobes: la (1,2) y la (2,1). Las pintamos en verde.

–¿Cómo sabes que son pobes, Mati –preguntó el pequeño que es bastante novelero y había aceptado con gusto la palabra inspirada en el ruso.

–Si consigues llegar con tu moneda a una de ellas ya has ganado, Ven. Tu adversario solo puede alcanzar desde ellas las casillas: (0,2), (0,1), (1,1), (1,0) y (2,0). Las 5 son casillas losers (están coloreadas de amarillo) y en el siguiente movimiento tú llegas a la meta.

–Aaaaah, es verdad… –asintió.

–Por lo tanto –siguió Mati –, caiga donde caiga la moneda, el jugador que llegue a una de las casillas pobes habrá ganado la partida. Las podemos tratar como metas del juego también.

–Eso es… –dijo Sal que se estaba emocionando con el análisis del juego.

–Por la misma razón que antes, si dejamos nuestra moneda en la misma fila, en la misma columna o en la misma diagonal que una pobe, habríamos perdido. Porque eso le daría la opción a nuestro rival a moverse hasta la pobe y ganar. Vamos, entonces, a pintar de amarillo todas las casillas que nos permiten llegar a la casillas (1,2) y (2,1); esto es, las de sus filas, ,sus columnas y sus diagonales hacia arriba y a la derecha.

–Todas esas amarillas son losers, ¿verdad, Mati? –preguntó Ven.

–Efectivamente, desde cualquiera de ellas se pueden alcanzar o la meta o las pobes marcadas en verde que dan la victoria. Y, de paso, descubrimos dos nuevas pobes: la (3,5) y la (5,3); las primeras que no conducen ni a la meta, ni a las otras pobes.

–Ah, claro –afirmó Ven –, lo veo claro. Si me coloco en la  (3, 5) o en la (5,3) mi rival está obligado a moverse a una amarilla que o me lleva a la meta o a otra pobe…

–Es lo que acaba de decir Mati, Ven…

–Bueno, vale, gafotas, me lo repetía para afianzar las ideas, ¿vale?

–¿Qué tenemos que hacer ahora, chicos?

–Pintar de amarillo las casillas que pueden llegar a las nuevas pobes –dijo Ven –, esas serían losers porque desde ella llegamos a las pobes y fin, ganamos.

–Eso es –afirmó ella –. Las pintamos.

–Ya sé cuál son las siguientes pobes, Mati –se apresuró a decir Ven –: la (4,7) y la (7,4).

–Eso es, Ven –dijo Mati –, muy bien.

–Y ahora hay que pintar de amarillo, de losers, las casillas de sus filas, sus columnas y su diagonal, ¿no? –preguntó Sal.

–Sí, camarada –respondió Mati con un guiño.

–Ajá –dijo Ven –, ahí están las nuevas pobes (6,10) y (10,6). Y fin.

–Bueno, fin en este tablero — corrigió Mati –, si el tablero es más grande tendríamos que seguir buscando losers y pobes. Pero pensemos en este tablero, por ahora: la estrategia ganadora consiste en moverte de pobe a pobe.

–Pero esta estrategia ganadora ¿es para el primer jugador o para el segundo? –quiso saber Sal.

–Depende –dijo Mati  –. Como os dije al principio, al comienzo del juego la moneda se coloca al azar. Si partimos de una casilla amarilla la estrategia ganadora es para el primer jugador que se moverá a una pobe y ya habrá ganado; si partimos de una casilla verde el primer jugador tiene que moverse a una amarilla con lo cual la estrategia ganadora es para el segundo jugador.

–Sí, claro –continuó Sal –. La gracia está en que de una casilla verde no puedes moverte a una verde pero desde cualquier amarilla siempre puedes llegar a una verde. Por eso, si conoces las casillas pobes y consigues colocarte en una el otro jugador jamás podrá llegar a una casilla verde…

–Eso es –dijo ella –, si pintamos el grafo que modela el juego, las casillas verdes y la meta serían los vértices de lo que se conoce como el núcleo del grafo…

–Ya me extrañaba a mí que no hubiese grafo escondido… –se burló Ven.

–¿Ves? No podía defraudarte, Ven, sé que te encantan los grafos –respondió Mati con un guiño –. Vamos a pintar el grafo que representa a este juego pero para un tablero 3 x 3 porque en otro caso no se verían bien las flechas. Tendríamos que poner un punto (vértice) por cada casilla e indicamos con flechas (aristas dirgidas) los posibles movimientos entre casillas para el juego de Wythoff. Nos quedaría algo así:

–Sí, es verdad, que lío de flechas, Mati –dijo Ven.

–Ya, por eso solo hemos dibujado el grafo para el tablero 3 x 3. En realidad, a este tipo de grafos con flechas, los llamamos grafos dirigidos o digrafos. Por eso, porque las aristas que unen los puntos tienen dirección, son flechas. Pues bien, vamos a colorear de rojo, además de la meta, las dos únicas pobes (casillas ganadoras) que aparecen en este digrafo, que serían las (1,2) y la (2,1):

–Como os decía esos 3 vértices rojos forman lo que en Teoría de Grafos llamamos el núcleo del grafo porque esos 3 vértices forman un conjunto independiente (no existen flechas entre dos de ellos) y absorbente (desde cualquier punto azul existe una flecha que lo conecta con uno de los rojos) –les dijo Mati.

–Es verdad… –se asombró Ven –, qué guapo.

–Es muy guapo, sí –dijo ella –, sobre todo, porque esta estrategia ganadora, la de moverse en el núcleo del digrafo que modela el juego sirve para cualquier juego que se pueda representar con un digrafo: bastaría con calcular un conjunto núcleo de vértices (de puntos) que contengan al vértice meta u objetivo. Una vez que un jugador accede a un vértice o casilla del núcleo, ya no lo pueden sacar de él.

–¿Seguro? –preguntó Sal-

–Segurísimo –respondió tajante Mati –. Si yo me coloco en un vértice o casilla del núcleo, en el siguiente movimiento tú no puedes llegar a otro vértice del núcleo también, porque forman un conjunto independiente, no están conectados.. Fíjate en el dibujo de nuestro digrafo, de un vértice rojo no se puede llegar a otro vértice rojo.

–Cierto, cierto… –susurró Ven.

–Pero además –continuó ella –, elijas el vértice azul que elijas para moverte yo siempre podré volver, en el siguiente movimiento, al núcleo, a un vértice rojo, porque estos vértices (los rojos, los del núcleo) forman un conjunto absorbente, es decir, desde cualquier punto fuera del núcleo (desde cualquier punto azul) existe una flecha que lo lleva a un punto rojo.

–Qué chulo –dijo Ven ensimismado.

–Lo es, sin duda –confirmó Mati –. Se trata, por lo tanto, de caminar sobre las casillas del núcleo hasta llegar a la meta.

–¿Y no puede ocurrir que entres en un bucle de movimientos entre casillas rojas y no llegues nunca a la meta? –preguntó Sal.

–No, en este juego no, siempre avanzamos hacia la izquierda y hacia abajo.

–¿Y hay más juegos con núcleos de estos, Mati? –preguntó Sal.

–Sí, muchos. De hecho os conté uno de ellos, sin deciros nada del núcleo porque eráis pequeños, pero era eso lo que calculábamos aquí. Las baldosas amarillas eran el núcleo:

–Ay, qué tramposilla… –dijo Ven a Mati.

–Bueno, te lo estoy contando ahora que eres mayor, ¿no? –respondió la gafotas — La estrategia ganadora del juego de Wythoff también se puede explicar sin hablar de digrafos y núcleos, depende de a quien se la estés contando.

–La verdad es que es todo muy sorprendente, Mati –dijo Sal sonriendo.

–Hey, pero queda mucho más –les advirtió la pelirroja –. Aún no hemos encontrado los conejos.

–¡Es cierto! –gritó Ven — ¿Dónde están?

–Volvamos al juego de Wythoff y a las casillas, ¿cómo se llamaban las ganadoras?, pobes, ¿verdad?

–Sí, sí, pobes –dijo el gafotas.

–Vamos a fijarnos en los nombres de las casillas pobes y a analizar algunos aspectos. Lo primero de los que uno se da cuenta es de que si está la casilla (a, b) entre las pobes también estará la casilla (b, a). Es decir, si está (1, 2) está la (2,1), si está la (3, 5) está la (5, 3), etc… Eso es fácil de deducir por la simetría del juego, ¿no? Los movimientos horizontales y verticales son intercambiables.

Los chicos escuchaban con atención, Gauss ladró simplemente porque hacía muchas líneas que no hablábamos de él en este capítulo.

–De hecho, si aparece una casilla pobe en la fila 1, por ejemplo la (1,2), ya sabemos que no habrá otra casilla pobe cuya primera coordenada sea 1, puesto que al aparecer la (1,2) eliminamos (pintando de amarillo) todas su fila. Y también su columna, con lo que sabemos que no habrá ninguna otra pobe con la segunda coordenada igual a 2. También sabemos que no habrá ninguna casilla ganadora o pobe con las dos coordenadas iguales, por ejemplo (20, 20), porque estarían sobre la diagonal de la meta que hemos eliminado (pintando de amarillo) en el primer paso de nuestro análisis de la estrategia ganadora.

Gauss volvió a ladrar. Es un perro egocéntrico.

–Pues bien, para tratar de adivinar qué casillas pobes habría en un tablero más grande que el nuestro vamos a quedarnos con el conjunto de casillas pobes que están por debajo de la diagonal que va desde la meta hacia arriba y a la derecha. Vamos a tratar de construir la sucesión de casillas pobes (ganadoras) para cualquier tablero de cualquier dimensión y para ello construiremos la sucesión de casillas ganadoras bajo la diagonal. Luego solo tendremos que completarla añadiendo las casillas simétricas. Es decir, nos saldrá, por ejemplo,   la (1,2) por debajo de la diagonal y sabremos que también estará la simétrica, la (2,1) por encima.

–¡Venga! –animó Ven.

–Para ello vamos a escribir en una tablita las coordenadas de las casillas pobes (por debajo de la diagonal) que ya hemos detectado, ordenándolas según han ido apareciendo en nuestro análisis:

–Fijaos bien –les animó Mati –, ¿notáis alguna regla que se repita?

Los chicos estuvieron un rato mirando la tabla hasta que, finalmente, Ven exclamó:

–¡Qué curioso! ¡La segunda coordenada de las casillas pobes es la suma del número de orden de la casilla más la primera coordenada de la casilla!

–Es verdad –confirmó Sal sonriendo –, ¿esto va a ocurrir siempre, Mati?

–Así es, chicos –dijo ella –. Y así saldría si siguiésemos nuestro análisis en un tablero más grande. También podéis observar que no se repite ningún número en las coordenadas por lo que hemos dicho antes: si aparece el 1 como primera coordenada de una casilla ganadora ya no puede aparecer nunca más en la primera coordenada de otra casilla ganadora, porque cada casilla ganadora o pobe es única en su fila. Pero, como el juego es simétrico, si el 1 aparece en la primera coordenada de una casilla ganadora  también estará en la segunda coordenada de otra casilla ganadora, su simétrica. Bueno, en nuestro juego salían a la vez la (1, 2)  y su simétrica la (2,1).

Gauss gimió de un modo raro. Esta ves no podemos explicar por qué.

–Eso significa –continuó Mati –que en los cuadraditos rojos de nuestra tabla no se va a repetir nunca ningún número, ¿me explico?

–Te explicas –dijeron Sal y Ven al unísono.

–Ahora viene lo más chulo –les anunció –: la primera coordenada de la siguiente casilla pobe, la número 5 por debajo de la diagonal, será el número natural más pequeño que aún no hayamos puesto en la tabla…

–¿El 8? –preguntó el gafotas.

–Sep –dijo Mati.

–Entonces, la siguiente casilla pobe es la (8, 13), ¿no? La segunda coordenada será 8 (la primera) más el número de orden, el 5 –dijo Ven.

–Exacto –confirmó Mati.

–Siguiendo esta regla –continuó nuestra amiga matemática –, podemos construir la sucesión de casillas ganadoras o pobes para cualquier tablero:

–Qué chulo, Mati… –exclamó Sal.

–Pero, ¿dónde están los conejos de Fibonacci, Mati? –Ven se empezaba a impacientar.

–Espera, tranquilo… –dijo ella –. Vamos a fijarnos ahora en la sucesión de números que aparecen en la primera coordenada por una parte, la llamamos X_n, y en la sucesión de números que aparecen en la segunda coordenada por otra, que llamaremos Y_n. ¿Qué observáis?

–Que ninguna de ellas es la sucesión de Fibonacci –dijo Ven torciendo el morro decepcionado.

–Efectivamente, ninguna de ellas es la de Fibonacci, Ven –siguió ella –, pero son lo que se llaman en Matemáticas dos sucesiones complementarias. Es decir, si las unimos tenemos todos los números naturales (los que sirven para contar) y no se repite ningún número al unirlas.

–Maravilloso… –bromeó Ven.

–Sí, lo es, Ven –continuó ella –. Y sabemos que son complementarias por las propiedades del juego de Wythoff, por las propiedades de las casillas ganadores o pobes como las llama el camarada Sal.

–¿Y los conejos? –insistió el pequeño.

–Deja terminar a Mati, Ven, por favor –intervino Sal.

–Veréis, resulta que existen unas sucesiones complementarias muy especiales que reciben el nombre de sucesiones de Beatty, en honor a Samuel Beatty, que escribió acerca de ellas en 1926. Las sucesiones de Beatty se construyen a partir de un número irracional (un número que no se puede expresar como fracción de 2 números enteros) mayor que 1, llamémosle r, de la siguiente manera:

–¿Qué son esas rayitas, Mati, que pones en las letras? –preguntó Sal.

–¿⌊r⌋? Ah, es cierto, no lo he explicado. ⌊r⌋ es la parte entera de un número por defecto, o sea, lo que nos queda al borrar sus decimales. Por ejemplo, ⌊π⌋ sería 3, lo que nos queda de π cuando le quitamos sus decimales.

–Podemos calcular las sucesiones de Beatty con π, ¿no? –preguntó Sal —π es un número irracional y es mayor que 1.

–Claro, π nos vale –dijo Mati –, y si hacemos las sucesiones de Beatty asociadas al número π, es decir r = π=3.14159265359…  y s=  π/( π-1) = 1.46694220692…,   nos queda:

–¿Veis? Los números naturales que faltan en la sucesión B_r están, como por arte de magia, en la sucesión B_s –dijo Mati –, ¿no os parece maravilloso?

–Sin duda –respondió Sal con una enorme sonrisa.

–¿Y si lo hacemos con √2? –preguntó Ven –Es otro irracional mayor que 1.

–Vamos a hacerlo –dijo Mati –: r = √2= 1.41421356237 y s= √2 / (√2-1)= 3.41421356237, nos queda:

–Huy, cómo se parece la B_r de √2 a la B_s de π, ¿no? –exclamó el pequeño.

–Bueno, pero son diferentes –puntualizó su hermano.

–Sí, sí –apostilló Mati –, cada irracional tiene sus propias sucesiones de Beatty. Eso es seguro.

En ese momento Gauss… no sabemos qué estaba haciendo el can porque, honestamente, estábamos todos esperando a que Mati sacara, por fin, los conejos de Fibonacci de su chistera matemática.

–Bueno, chicos –les dijo –, recapitulemos un poco. Comenzamos buscando una estrategia ganadora para el juego de Wythoff y hemos construido la sucesión de casillas ganadoras para el juego; descubrimos entonces que la sucesión de las primeras coordenadas de las casillas y la sucesión de las segundas coordenadas de las casillas eran sucesiones complementarias, ¿no? –Los niños y Gauss asintieron con vehemencia –. Por otra parte, hemos visto que las sucesiones de Beatty son también complementarias y que cada número irracional tiene las suyas propias. La pregunta que se nos viene inmediatamente a la cabeza es: ¿existe algún número irracional de forma que sus sucesiones de Beatty sean, precisamente, las sucesiones del juego de Wythoff? Y la respuesta es… –pausa dramática de la pelirroja.

–¡¡Suéltalo, Mati!! –gritaron los chicos.

–La respuesta es sí, existe un irracional cuyas sucesiones de Beatty son las del juego de Wythoff –dijo Mati triunfante –. Y lo más maravilloso de todo es que ese irracional es, nada más y nada menos, que ¡¡φ, la razón aúrea!!

–¡¡WOW!! –exclamó Sal

–¡¡Toma, toma, toma!! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Oye, Ven –dijo su hermano –, hacía mucho tiempo que no te escuchaba decir eso de «toma, toma, toma».

–Bueno, es que hace mucho que no venía por este blog, tú sabes… –respondió Ven.

–¿Os acordáis de la razón aúrea, verdad, chicos? –les interrumpió Mati.

–Claro, Mati –dijo Ven –, nos lo contaste hace tiempo.

–Bueno, entonces, ya tenéis los conejos –dijo ella.

–No entiendo –dijo Ven un poco mosqueado –. ¿Dónde están los conejos?

–Dentro de la chistera aúrea –respondió ella guiñando un ojo.

Los niños se quedaron un rato pensando con los ojos arrugados, Gauss también arrugó los ojos pero por puro postureo. Al cabo de un par de minutos Sal exclamó:

–¡¡Claro!! ¡¡Lo tengo!! φ se obtiene dividiendo cada término de la sucesión de Fibonacci entre el anterior, bueno, quiero decir, que cada vez el resultado de esas divisiones se irá pareciendo más a φ   . También nos lo contaste hace tiempo.

–¡¡TOMA, TOMA, TOMA!! –gritó Ven levantando en brazos a Gauss que lo miraba de soslayo porque estaba indignado con que no le hicieran caso hace rato.

–¿Veis? –preguntó Mati con aire de triunfadora — Os dije que este juego nos llevaría a la madriguera del conejo blanco.

–Del conejo no, Mati –la corrigió Sal –, de los conejos blancos de Fibonacci, ¡infinitos conejos blancos!

–Tienes razón –dijo ella y concluyó –. Pero de lo que no hay duda es de que las matemáticas siempre nos llevan al País de las Maravillas.

FIN

Referencia: Wythoff, W. A. «A Modification of the Game of Nim.» Nieuw Arch. Wisk. 8, 199-202, 1907/190

La entrada Sigue al conejo blanco fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

–¿Y eso? Pero si siempre has querido ser astronauta…

–Pues ya no, ¿viste? Uno siempre tiene derecho a crecer y cambiar de opinión.

–Lo que te pasa, Ven,  es que te has asustado con el tráiler de la película del marciano –respondió Sal –. Es normal, da un poco de miedito pensar que te quedas solo en medio de un planeta sin poder conectar con nadie…

–Pues sí, pero eso no pasa en nuestro planeta –Mati acababa de entrar en la habitación –, nuestro planeta es un mundo pequeño y muy bien conectado.

–Bueno, Mati, tan pequeño no es, no te pases –dijo el pequeño Ven.

–En tamaño sí lo es si lo comparamos con el tamaño del universo… –intervino su hermano Sal.

–Efectivamente, pero además –añadió Mati–la teoría del mundo pequeño lo que predice o conjetura es que cualesquiera dos personas en el mundo pueden mandarse entre sí un mensaje sin usar más de 6 intermediarios.

–No me lo creo –protestó el Pelanas.

–Bueno, Ven, no se puede demostrar porque necesitaríamos disponer de todos los datos de todos los humanos del mundo y sus relaciones entre ellos, pero en  los experimentos que se han hecho siempre se ha cumplido y eso hace pensar que nuestro mundo está muy conectado –explicó la pelirroja –. En cualquier caso, el problema que tiene nuestro astronauta en Marte  es que está aislado, que no está conectado con nadie.

–Me estoy agobiando –dijo Ven –. Me estoy agobiando mucho. ¿Has leído el libro, Mati? ¿Consigue escapar de Marte?

–Sí, he leído el libro –respondió ella y añadió con un guiño–, pero no te lo voy a contar: tendrás que leerte el libro o ir al cine a ver la película.

–Da igual, no lo conseguirá –insistió un angustiado Ven –, ¡es imposible escapar!

Gauss ladró 3 veces en ese momento. Suponemos que por darle dramatismo a la escena  y porque siempre tiene que formar parte de cualquier movida. Es un perro raro.

–Se me ocurre una idea, chicos –propuso la gafotas–: para relajarnos un poco y mientras vamos a ver  la película os voy a explicar un acertijo que se conoce, precisamente, con ese nombre: escape imposible.

–Sí, por favor –pidió Sal con alegría.

–¿Tiene que ver con quedarse aislado en medio del universo? –preguntó el pequeño.

–No, para nada –dijo Mati –, solo necesitamos un tablero de ajedrez y 64 monedas.

–Voy por el tablero –dijo el gafotas –, trae nuestra hucha, Ven.

Gauss volvió a ladrar para recordarle a la humanidad que él también estaba allí y que también tenía su corazoncito.

–Ya tenemos todos los ingredientes, Mati –dijo  Ven ansioso.

–Estupendo. Imaginad que sois apresados por un malvado y sádico personaje. Vuestro maquiavélico carcelero idea un plan para poner a prueba vuestra inteligencia de tal manera que si resolvéis el enigma quedaréis libres los dos y, en otro caso, os dejará encerrados para siempre –les contó Mati misteriosa –. Para ello os convoca a los dos en una sala en la que hay una mesa con un tablero de ajedrez y junto a él un frasco de monedas y os explica lo siguiente:

«Os voy a encerrar a los dos en una celda durante 5 horas. Después sacaré a uno de vosotros a esta misma sala, señalaré una única casilla del tablero de ajedrez, la que yo quiera, será la casilla mágica y a continuación cubriré las casillas del tablero con monedas, una por casilla, como me dé la gana: unas estarán con la cara hacia arriba y otras con la cruz, o tal vez todas cara arriba, o todas cara abajo. Aquel de vosotros que esté conmigo en ese momento, tendrá que cambiar la posición de una de las monedas, una y solo una, para tratar de señalar a su compañero cuál es la casilla mágica. Después, encerraré en una celda distinta al primero que salió, sacaré al segundo y si acierta cuál es la casilla mágica, estaréis libres los dos. En otro caso, os quedaréis aquí, para siempre.»

Y se rió de forma malvada.

–Vale, gracias, Mati –dijo Ven –. Ahora estoy más agobiado que antes.

–Pero, ¿por qué, Ven? ¿No confías en nuestra inteligencia? –le dijo ella –Vamos a pensar un poco, ya veréis cómo conseguimos escaparnos…

–¡Es imposible, Mati! –interrumpió Ven con los ojos fuera de sus órbitas –¿No lo ves?

–Ven, ¿por qué no dejas que Mati nos lo explique?

–Porque no es posible, Sal, el malo puede poner las monedas cara arriba o cara abajo, como le dé la gana. ¿Cómo vas a señalar una casilla de forma dando la vuelta a una moneda si el otro prisionero no sabe cómo estaban al principio? ¿No ves que es imposible? ¿No lo ves?

–Poco a poco, Ven –intervino Mati –. Pensemos en que el tablero, por ejemplo, solo tiene 2 casillas: una blanca y una negra. Vamos a pensar cómo lo haríamos.

–Vale –aceptó el pequeño –, ya me dirás tú…

–¿De cuántas formas posibles podría colocar las monedas el carcelero en las dos casillas? –les preguntó.

Los niños pensaron un poco, Gauss se rascó la oreja. Finalmente, Sal dijo:

–Solo de 4 formas posibles, Mati.

–Eso es –confirmó la pelirroja –: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz.

–Nuestros amigos, los dos prisioneros tendrán 5 horas para diseñar una estrategia –continuó ella –, pero nos sobran más de 4. Veréis, los presos pueden acordar que si el carcelero señala la casilla blanca, haremos el movimiento que sea necesario para que la moneda en la casilla blanca sea una cara.

–Ah, claro, brillante… –dijo Sal.

–Vale, ahora lo veo –añadió Ven –: si en la casilla blanca hay cara, cambiamos la moneda en la casilla negra que nos da igual y si en la casilla blanca hay cruz, cambiamos esa casilla.

–Ajá, eso es, chicos. Depende de lo que haya en la  casilla blanca, cambiamos lo que haga falta para dejar una cara en esa casilla, así:

–¡Lo tengo! –gritó de pronto el pequeño –. Y si el carcelero señala como mágica la casilla negra lo que tenemos que hacer es dejar una cruz en la casilla blanca para indicar que no es esa la elegida.

–¡Muy bien, Ven! –dijo Mati. Gauss gruñó celosillo –Estas serían las posibilidades:

–Qué chulo, Mati –dijo el gafotas –. Pero, ¿cómo lo hacemos cuando son las 64 casillas del tablero de ajedrez?

–¡Eso, eso! –insistió Ven.

–Pues de una forma brillante que os voy a contar –empezó a decir ella –, codificando cada casilla usando el sistema binario, ¿os acordáis?

–Sí, claro –dijeron al unísono.

–Pero os lo voy a explicar con un tablero 4 x 4, en lugar de un tablero 8 x 8, simplemente porque son menos cuentas, pero el procedimiento es el mismo, ¿os parece bien?

–¡Vale! –volvieron a decir a la vez.

–Allá vamos. Si el tablero de nuestro carcelero es 4 x 4, vamos a numerar sus casillas, son 16, del 0 al 15, comenzando por la que esté frente a nosotros a la derecha.

–¿Y si el carcelero mueve el tablero cuando salga el primer prisionero y antes de entrar el segundo? –preguntó Ven despavorido.

–No, no lo hará –lo tranquilizó ella –, el tablero está sobre una mesa muy, muy pesada, no se puede girar. Así que convenimos por donde empezamos a numerar nuestras casillas desde el 0 hasta el 15.

–Ahora, escribimos esos nombres en binario –les dijo –, ¿recordáis cómo?

–Sí –dijo el gafotas –, se trata de ir dividiendo por 2, sin decimales, mientras se pueda  y quedarse con el último cociente y con los restos, desde abajo hacia arriba. Por ejemplo, si queremos escribir 13 en binario hacemos esto:

–Muy bien, Sal –dijo Mati orgullosa –, veo que recuerdas muy bien lo que os conté.

–Yo también me acordaba, Mati –dijo Ven –, pero esto solo sirve para niños que sepan dividir…

–Bueno, a los que no saben, yo les enseño con billetes –respondió ella guiñando un ojo.

–¿Con billetes? ¿Cómo? –preguntó el pequeño.

–Les doy billetes de 1, 2, 4, 8, 16 euros, todos con una cantidad que sea una potencia de 2 y solo uno de cada clase.

–A continuación, les digo –continuó Mati –que compren, por ejemplo, algo que cueste 27 y que me escriban en esta tabla cuántos billetes de cada tipo han usado:

–Pues… para pagar 27 euros –dijo Ven –necesita uno de 16, otro de 8, uno de 2 y otro de 1.

–Eso es –afirmó ella –. Lo ponemos en la tabla:

–Y ya tenemos que 27 se escribe en binario 11011 –concluyó la pelirroja.

–¡Qué chulo, Mati! –dijo Sal –Así pueden aprender binario desde muy pequeños.

–Efectivamente –dijo ella –, y se lo pasan bomba.

–Sigue con lo de los prisioneros, por favor, Mati –le pidió ansioso Ven.

–Es verdad, sigamos. Lo que hacemos a continuación es escribir los números de nuestro tablero en binario, ahora que ya sabemos hacerlo perfectamente:

–Ahora, imaginemos que nuestro carcelero ha llamado a Sal y en su presencia  elige como casilla mágica, por ejemplo, la 9. Es decir, la 1001. Esa es la información que Sal tiene que transmitirte a ti, Ven: 1001.

–A continuación, el carcelero colocará las monedas como le apetezca sobre el tablero, por ejemplo así (he puesto las monedas que están cara arriba más grandes porque son las que vamos a contar):

–¿Y ahora qué, Mati? ¿Qué hará Sal para que yo sepa que la casilla mágica es la 9 o la 1001? ¡Solo puede cambiar una moneda! –Ven estaba cada vez más nervioso.

–Espera, Ven –lo tranquilizó ella –. Ahora vamos a contar las caras que vemos en distintos grupos de este tablero. Empezamos contando las caras que están sobre aquellas casillas que tienen un 1 en su última cifra en binario, las que marcamos aquí: 

–Hay 5 caras en esas dos columnas, Mati –dijo el gafotas.

–Cuando haya un número impar de caras, lo contaremos como 1 y cuando haya un número par de caras, lo contamos como 0 –continuó ella –. Así que a esta tabla le corresponde un 1. Veamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en la penúltima cifra de su expresión en binario, es decir, en estas columnas:

–¡Hay 3! –dijo Ven –Le ponemos otro 1.

–Eso es –confirmó ella –. Y ahora contamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en su antepenúltima cifra de su expresión en binario, las que están en estas filas:

–Son 4 –dijo Sal –, le ponemos un 0, ¿no?

–Naturalmente –respondió Mati –. Y por último, contamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en su expresión en binario en la 4 cifra contando desde el final, o sea, las de las 2 últimas filas:

–También hay 4 así que otro 0 –concluyó Ven.

–Eso es –continuó la gafotas –. Lo que hemos hecho es codificar con un número las posiciones de las caras y las cruces que nuestro carcelero ha colocado, a su antojo, sobre nuestro tablero. Esta distribución de monedas será para nosotros la 0011 (las ponemos en este orden):

–¿Y ahora qué? –preguntó Ven con ansias.

–Relájate, Ven –siguió la pelirroja –. Ya sabemos que cada distribución de caras y cruces sobre el tablero se puede codificar con un número en binario. Si Sal quiere que tú sepas que la casilla mágica es la 1001, la 9, lo que hará es conseguir que la distribución de caras y cruces sobre el tablero sea tal que su codificación en binario sea 1001.

–¿¿Moviendo solo una moneda?? Vamos, Mati, es imposible.

–Deja a Mati que termine, Ven, así no avanzamos.

El pequeño arrugó la boca con resignación. Gauss no hizo nada, yo creo que estaba tan nervioso como el Pelanas.

–Ya veréis, chicos –continuó ella –, es un idea brillante. Vamos a usar para ello un operador lógico, el operador de disyunción exclusiva, que se conoce como XOR.

–Buf, ni idea… –protestó el pequeño.

–¡Ven! –le regañó el gafotas.

–El operador XOR es un operador que considera que la suma de dos hechos es verdadera solo si lo es una de ellas. Es decir, si una es falsa y la otra es verdadera. Pero si las dos son o verdaderas o falsas, el operador concluye que la suma de las 2 es falsa. Lo vemos en esta tablita donde la V significa verdadero y la F significa falso:

–Pues, bien –continuó Mati–, vamos a aplicar este operador a los 0 y a los 1, como si el 1 fuera la V y el 0 fuese la F: 

–Lo que haremos a continuación, chicos, es ‘sumar’ con este criterio el número de la casilla mágica que eligió el carcelero (la 1001) y el número de la distribución de caras (el 0011), así:

–¿¿Y ahora?? –Ven no pudo estar más tiempo callado.

–Ahora ya está, Ven –respondió Mati –, esa es la moneda a la que Sal le tiene que dar la vuelta: a la moneda que está en la casilla 1010.

–Que es la casilla número 10 –añadió el gafotas que ya lo estaba intuyendo.

–Efectivamente, Sal –corroboró la pelirroja –, esa es la moneda que hay que cambiar.

–¿Y qué pasa si Sal cambia esa, Mati?

–Vamos a verlo, ¿te apetece?

–¡Claro!

–¿Qué tenemos en la casilla 1010 antes de que Sal haga nada?

–¡Cruz! –gritó el pequeño.

–Sal la volteará y en esa posición habrá una cara –dijo Mati.

–Ahora vamos a calcular el código de esta distribución de caras y  cruces como hemos hecho antes: contando las caras que hay en las casillas coloreadas y escribiendo 0 si hay un número par o 1 si hay un número impar de caras:

–¡Toma, toma, toma! –gritó Ven entusiasmado –¡Es el número de la casilla mágica! ¡Cómo mola!

–¡Es fantástico, Mati! –dijo Sal con los ojos abiertos como platos mientras sus gafotas resbalaban a la punta de su naricilla.

Gauss ladró con entusiasmo. No sabemos sí porque lo había entendido todo o porque ya había terminado la explicación de Mati y podrían salir de paseo. Mati les guiñó un ojo con esa sonrisa que siempre le sale cuando ve a sus amiguitos emocionados con lo que les cuenta.

–¿Qué? ¿Salimos a dar un paseo?

–No, no –dijo Ven — Vamos a probarlo con el tablero completo del ajedrez. ¿Cómo sería si elijo la casilla 57?

–Bueno –dijo Mati –, hay que empezar por escribir 57 en binario por ejemplo rellenando esta tabla:

–Pero mejor se lo dejamos propuesto a nuestros amigos –añadió la gafotas –y nos vamos a dar un paseo que creo que Gauss se está enfadando un poco.

FIN

Espero que os guste este nuevo reto o acertijo. A mí me encantó cuando lo descubrí aquí. Se acercan días de vacaciones y reuniones familiares, ingredientes perfectos para que sorprendas a todos con este reto del escape imposible.

Hasta pronto.

Mati.

La entrada La casilla 57 fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

–Bueno, Ven, no te preocupes –dijo Bentor –. ¿Jugamos aquí dentro?

–¿Al fútbol? –respondió Ven –No podemos jugar al fútbol dentro de casa, no nos dejan.

–¿Jugamos con las Magic? –propuso el gafotas que empezaba a encontrar ventajosa las inclemencias del clima.

–No, Sal, no me gustan las Magic –protestó su hermano –. Te pones un poco pesado con las cartitas esas, perdona que te lo diga.

–¿Vemos la tele un rato? –propuso Bentor que empezaba a temer una nueva discusión entre los dos hermanos sobre lo maravilloso o no que era jugar al Magic.

Bentor estaba de visita en casa de sus amigos Sal y Ven. Por la mañana, habían planeado jugar al fútbol por la tarde con Laura y los demás, pero desde el mediodía no paraba de llover. Estaban un poco desilusionados y contrariados pero iba a durarles poco porque Mati estaba a punto de entrar en el salón.

–Hola chicos –saludó la pelirroja al entrar –. Vaya, veo que hoy tenéis un invitado en casa.

–Es Bentor –se apresuró a decir Ven –. Vive en Santa Cruz de Tenerife y ha venido a visitarnos, pero para nada –añadió frunciendo el ceño –, porque no podemos jugar al fútbol.

–Hola Bentor –lo saludó Mati –. Estoy casi segura de que has venido para algo más que jugar al fútbol, ¿verdad? –Mati le guiñó un ojo.

–Claro, Mati –dijo él con una inmensa sonrisa –. Tenía ganas de estar con Sal y Ven y –la carita de Bentor enrojeció un poco –tenía muchas ganas de que me enseñaras un juego de los tuyos.

–Oh, me parece una gran idea –dijo ella –. Os voy a enseñar un juego chulísimo mientras esperamos que deje de llover, ¿os apetece?

–¡Sí! –dijeron los tres niños al unísono. Gauss resopló aliviado, tenía un rato para descansar.

–Veréis –empezó a decir Mati –, os voy a enseñar varios juegos, todos con triangulaciones…

–¿Con qué? –preguntó Bentor arrugando la nariz.

–Con triangulaciones –le explicó Sal –. Mati nos pondrá muchos puntos en una hoja de papel y tenemos que unir los puntos de dos en dos con una línea, pero sin que se crucen las líneas, ¿no, Mati?

–Ah, sí, ya me acuerdo –añadió Ven –. Ese juego ya lo conocemos.

–No, Ven –dijo ella –. Nosotros hemos jugado alguna vez, cuando eráis más pequeños, a triangular conjuntos de puntos, pero nadie ganaba. Se trataba solo de conseguir la triangulación, hoy vamos a ver otros juegos diferentes.

–¿Cómo se hace una triangulación? –preguntó Bentor.

–Te lo contamos –respondió la gafotas –. Si tenemos un conjunto de puntos en nuestro papel como, por ejemplo este –Mati dibujó unos puntos en una libreta que llevaba.

–Hacer una triangulación de estos puntos –continuó –consiste en unir con rayitas los puntos de dos en dos, sin que se crucen entre sí. Cuando ya no se puedan añadir más rayitas, lo que nos quedará es una triangulación, un dibujo formado por triángulos con los vértices en los puntos que teníamos al principio.

–¿Puedo intentarlo? –preguntó Bentor.

–Claro –le respondió Sal –. Toma este rotulador.

Bentor se puso a unir puntos de dos en dos como le había dicho Mati, sin que se cruzaran las líneas que iba dibujando. Al cabo de un rato, les mostró a todos el resultado.

–Ya lo terminé.

–¿Estás seguro? –preguntó Ven haciéndose un poco el interesante.

–Creo que sí, que no puedo pintar más rayitas.

–Mira, fíjate aquí, aquí hay un cuadrilátero –dijo Ven –, tienen que quedar triángulos.

–Puedes añadir una línea más –apuntó Sal –para dividir ese cuadrilátero en 2 triángulos, Bentor.

–Ahora sí –dijo este después de pintar una línea más.

–Ajá –dijo Mati –, eso sí es ya una triangulación. Muy bien, Bentor. Ahora os voy a enseñar a los tres qué es un flip en la triangulación.

–¿¿Flip?? –preguntó Sal con una cara muy rara.

–Bueno, ese es el término en inglés –dijo Mati –, en español sería giro o intercambio, pero a mí me gusta llamarlo flip, porque es más sonoro. Además porque así los llamaba mi amigo Ferran Hurtado que es el que me enseñó los juegos con triangulaciones que os quiero contar.

–¿Y qué es un flip, Mati? –quiso saber Ven.

–Un flip es una operación que solo podremos aplicar a las aristas (llamamos aristas a las rayitas que habéis dibujado) interiores de la triangulación –respondió ella –, esto es, no podemos hacer flip con ninguna de las aristas que están pintadas en azul en el siguiente dibujo:

–¡Vale! –dijeron los tres niños a la vez.

–Muy bien –siguió ella –. Ahora nos fijamos en una arista interior. Esa arista, por ser interior, está compartida por dos triángulos de la triangulación, ¿verdad? Fijaos en esta que está pintadode verde:

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss también. Es un perro muy novelero.

–Pues bien –continuó Mati –, hacer flip en esa arista verde consiste en sustituirla, cuando se pueda, por la otra diagonal del cuadrilátero formado por los dos triángulos que la comparten. Como he hecho yo en esta figura:

–Eso lo podemos hacer siempre –dijo de pronto el gafotas –, ¿no, Mati? Siempre que la arista sea interior habrá dos triángulos pegados por ella, estos formarán un cuadrilátero y un cuadrilátero siempre tiene dos diagonales, puedes cambiar una por la otra para hacer la flip.

–No, no, no, amiguito –respondió Mati –, porque puede ocurrir que una de las diagonales esté por fuera del cuadrilátero y no se pueda dibujar porque cortaría a otra arista de la triangulación. Y eso, caballeros, está prohibido. Fijaos en el siguiente dibujo:

–Si nos fijamos en la arista que comparten los dos triángulos sombreados en morado –continuó ella –, es una arista interior, pero no podemos hacer flip porque la otra diagonal del cuadrilátero que forman los dos triángulos va por fuera y nos quedaría algo así de feo e ilegal: una arista cortando a tres triángulos de fuera.

–Ah, claro… –aceptó Sal.

–O sea, Mati –interrumpió Ven –, como tú nos enseñaste: para poder  hacer flip es necesario que la arista sea interior pero no es suficiente, ¿no?

–¡Eso es, muy bien, Ven! –se alegró Mati — Veo que entendiste muy bien la lección.

–Entonces –interrumpió Bentor que estaba deseando empezar a jugar –, ¿qué tenemos que hacer, Mati? ¿Hacer flips a todas las aristas que podamos?

–Bueno, ese no es el juego que os iba a proponer –dijo esta –, pero es otra posibilidad.

–Entonces, ¿cuál es el juego que nos quieres enseñar? –siguió preguntando el pequeño.

–En realidad son varios juegos –dijo Mati –, al primero lo llamaremos, simplemente, «construye una triangulación». Este es un juego para 2 jugadores, podéis jugar por turnos, de 2 en 2, y solo necesitamos un papel y un lápiz.

–Aquí tienes –dijo Bentor acercándole a Mati las cosas que había pedido.

–Gracias, Bentor –dijo ella y continuó –. En el papel dibujamos unos puntos, los que queráis…

–¿56? –interrumpió Ven.

–Los que queráis –respondió la pelirroja –, yo he pintado estos. Ahora, por turnos, cada jugador dibuja una arista, una línea, hasta que completen la triangulación. Si un jugador termina un triángulo al dibujar en su turno, se lo apunta en su cuenta. Gana el que más triángulos haya cerrado una vez que hayan triangulado todos los puntos.

–No sé si lo entendí bien, Mati –dijo Bentor.

–Ya verás –le respondió Mati –. Si tenemos estos puntos, imagina que el primer jugador pinta esta arista:

–Pensemos que el segundo jugador no es demasiado despierto –siguió ella –y dibuja esta otra:

–Noooooooooo –gritó Ven de pronto –, esa no, ¡que cierra el triángulo el jugador 1!

–Efectivamente –dijo ella –, ya os dije que no era un jugador muy despierto. En este caso, el jugador 1 cierra el triángulo y se anota un punto.

–¡Qué chulo! –exclamó Bentor –¿Jugamos?

–Como queráis –dijo Mati –, os iba a enseñar más juegos para que luego eligiéseis el que más os gustara.

–Sí, sí, Mati –dijo Sal –, cuéntanos todos primero.

Bentor y Ven aprobaron la decisión de Sal. Gauss ladró, llevaban mucho rato sin hacerle caso.

–El siguiente juego se llamará «el triángulo de oro» –siguió la gafotas –. Es igual que el anterior pero gana el primero de los jugadores que cierre un triángulo.

–¿Sin terminar la triangulación? –preguntó Bentor.

–Eso es –confirmó Mati –. Otro posible juego de construcción de triangulaciones, es decir, de empezar solo con puntos e ir añadiendo las aristas para construir la triangulación, es el de «construye con tu color».

–¿Qué es eso del color? –preguntó Sal.

–Pues que en esta versión del juego –les contó –cada jugador tiene un lápiz de un color distinto, usamos 2 colores,  y solo se anotará un punto cuando cierre un triángulo con las 3 aristas de su color.

–Cómo mola… –exclamó Ven –. Ese es más difícil, ¿no?

–Bueno –dijo Mati –, diferente. También podéis jugar al  «triángulo de oro y color». Que sería como el del triángulo de oro pero gana el primero que consiga un triángulo con las tres aristas de su color.

–Me gustan todos –dijo  Bentor –. Ahora no voy a saber cuál elegir…

–Espera, espera –le pidió Mati –, que todavía nos he contado los juegos con flips.

–Es verdad –dijo Sal –, ¿para qué sirven los flips en estos juegos?

–En los juegos que os acabo de explicar no usamos flips –respondió ella –, estos eran juegos todos de construcción. Ahora os voy a contar juegos de transformación. Partiremos de una triangulación ya terminada y jugaremos a transformarlas con flips, ¿queréis?

–¡Sí!! –dijeron los tres al unísono. Gauss se abstuvo de opinar en esta ocasión.

–El primero de flips que os voy a enseñar se llama «flipando» –dijo Mati –. Empezamos con una triangulación ya hecha, por ejemplo, con aristas negras (mejor a lápiz para borrar) y usamos un rotulador de otro color, por ejemplo verde. Por turnos, cada jugador elige una arista negra para ‘fliparla’, si se puede. Y si se puede, la flipa, es decir la borra y la cambia por la otra diagonal del cuadrilátero, pero en verde. Veis, como en esta figura, hemos pintado de rojo la arista elegida para flipar, la borramos y la cambiamos por la verde.

–Es chulísimo, Mati –exclamó el pequeño Bentor.

–Muy chulísimo –dijo Ven que ya se había olvidado del fútbol.

–Ya os dije que los flips eran algo muy divertido –les dijo ella –. A mí me encantan por eso y, bueno, porque siempre me recuerdan a Ferran. Pues bien, el juego lo gana el que haga el que haga el último flip posible. Las aristas verdes no se pueden flipar, por eso las pintamos con rotulador, para no poder borrarlas.

Los niños asintieron con la cabeza, Gauss… ¿dónde estaba Gauss? Bueno, sigo.

–Una variante de este juego sería «caza al flip» –siguió Mati –que es como este pero gana el primero que cierre un triángulo con aristas de las verdes.

–Mola –dijo Sal.

–Y por último –anunció Mati –, mi versión favorita que se llama «flipando en colores». Es como los dos anteriores, pero cada vez que un jugador flipa una arista NEGRA, colorea con su propio color la nueva arista y las que sean negras en el cuadrilátero definido por la arista flipada. El juego acaba cuando no se pueden seguir flipando aristas internas negras y gana el que haya dibujado más aristas en su color. Igual que antes, sólo se pueden flipar las aristas que sean todavía negras. Por ejemplo, juega primero el rojo, flipa una arista negra y pinta de rojo la nueva y el cuadrilátero que la contiene:

–A continuación –siguió –, el jugador azul elige un cuadrilátero donde flipar, hace el flip,

pero solo pinta de azul aquellas aristas que eran negras, las rojas (del primer jugador) no las puede tocar.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola!–gritó Ven –¡Estoy flipando en colores!

–¡Voy a enseñárselo a todos mis amigos cuando vuelva a Santa Cruz de Tenerife! –dijo Bentor entusiasmado.

–¿Podemos jugar ya? –pidió Sal nervioso –¿A flipar en colores?

–¡¡Sí!! –gritaron Ven y Bentor y se sentaron los tres en el suelo.

–Muy bien, chicos –dijo Mati –. Yo voy a buscar a Gauss que hace un rato que no sé dónde está…

FIN

Bueno, amigos, espero que os gusten estos juegos de triangulaciones que me enseñó mi amigo Ferran Hurtado que publicó con otros colegas este trabajo. En él  se analiza la conexión de algunos de estos juegos con triangulaciones con otros juegos tales como Kayles. Así mismo, los autores presentan algunas estrategias ganadoras para algunos de los juegos de triangulaciones cuando los puntos están distribuidos en algunas posiciones concretas (posición convexa).

Quiero mandar un saludo especial a nuestro amigo Bentor que nos sigue desde Santa Cruz de Tenerife y con el que nos lo hemos pasado muy bien en esta mateaventura. Gracias por estar ahí, Bentor.

Espero que juguéis mucho y me contéis cuál de todos es vuestro favorito.

¡Hasta pronto!

MATI 

Dedicado a mi amigo Ferran del que aprendí mucho de lo poco que sé.

Et trobo a faltar, Ferran.

CLARA GRIMA

La entrada 56 puntos para triangular fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

–Y por último, elige en qué montón está tu carta, Sal.

–En este –señaló el gafotas.

–A ver… –Ven puso cara de pensar muy fuerte y finalmente le enseñó el siete de espadas a su hermano –¡Es esta!

–No, era el cinco de oros –dijo Sal sin alterarse.

–¡Has hecho trampas, gafotas! ¡Me has mentido! –gritó el pequeño muy enfadado –Este truco no falla nunca, me lo enseñó Mati. Pero si me mientes no sale.

–Pero, bueno, ¿qué pasa aquí? –Mati acababa de llegar.

–El gafotas me ha mentido para que no me saliera el truco de las 21 cartas, Mati –protestó el pelanas.

–No he querido mentirte , Ven –se defendió el mayor –. a lo mejor me he equivocado…

–Sí, claro –receló Ven –. Lo que pasa es que no quieres reconocer que soy un gran mago.

–¿Sabéis, chicos? –interrumpió la pelirroja – ¿Recordáis cuando os hablé de mi amigo Jin Akiyama?

–Sí –dijo Sal –, claro, el matemático más famoso de Japón.

El pequeño Ven, que seguía más enfadado que nadie en el mundo, miraba a Mati con el ceño fruncido intentando adivinar qué tenía que ver  Akiyama sensei* con el tramposo de su hermano.

–Eso es –afirmó la gafotas –. Pues bien, Jin me enseñó un truco de adivinación en el que el mago podía acertar el número que había pensado alguien, aunque este mintiera (o se equivocara) una vez.

–¿¿Sí?? –preguntó Sal con los ojos de par en par.

–¿También con cartas? –preguntó Ven intentando disimular su curiosidad.

–No, no se trata de adivinar cartas –continuó ella –, sino de adivinar, como he dicho, el número que ha pensado alguien, como aquel que aprendimos para el cumpleaños de vuestra abuela, pero en esta ocasión, cuando le enseñamos las tarjetas para que nos diga en qué tarjetas está el número que ha pensado, le permitimos que nos mienta, como máximo, una vez: es decir, que nos diga que está en una tarjeta en la que no está o al revés, que nos diga que no está en una tarjeta en la que sí está el número que ha pensado.

–¿Nos lo enseñas, Mati? –pidió el gafotas.

–Bueno, venga, vale –añadió el pequeño mirando de reojo.

–Para realizar este truco de adivinación con posibilidad de un engaño –les dijo –, Jin me regaló esta estantería con bolas de colores y repisas deslizables.

–¡¡Qué chula!! –gritó Sal –¿Cómo funciona?

–Ya veréis –continuó ella –, os lo voy a explicar sobre  este diagrama que representa a la estantería con sus siete repisas.

–Se trata de que le pidáis a alguien que piense un número del 1 al 15, lo escriba en un papelito y lo esconda –siguió Mati –. Decidme uno y os enseño cómo funciona. 

–Pero si te lo decimos ya lo sabes, qué lista… –protestó el pequeño.

–Claro, Ven –dijo Mati –, es sólo para que veáis cómo funciona el truco.

–El 9 –gritó Sal.

–Muy bien –dijo Mati –, suponemos que nuestro amigo, al que le queremos hacer el truco ha pensado el 9, pero nosotros no lo sabemos. Entonces le enseñamos estas 7 tarjetas y le pedimos que señale en cuáles de ella está. Le decimos que nos puede mentir, como máximo una vez.

–Ese es como el de la abuela, Mati –dijo el pelanas.

–Sí, Ven –confirmó ella –, pero aquí se puede mentir una vez.

–¿En qué tarjetas diría nuestro amigo que está el 9? Señaladlas pero mentid en una, por ejemplo. Ya sabéis que no es necesario mentir, pero si se miente, solo se puede mentir una vez.

Los chicos, cuchicheando, se pusieron a señalar las tarjetas en las que estaba el 9 y se las mostraron a su amiga.

–Bueno, veo que me habéis mentido en la rosa –dijo Mati –. Pero, claro, yo no debería saberlo aún. Lo que hago a continuación es deslizar las repisas correspondientes a las tarjetas que habéis señalado en verde, las que vosotros, mentirosillos, decís que contiene vuestro número. Fijaos que si ponemos las tarjetas al lado de la estantería cada tarjeta se corresponde con una de las 7 baldas de la misma.

–Si deslizamos las baldas correspondientes a las 4 tarjetas que habéis señalado –siguió –, las bolas que están sobre esas 4 baldas caerían aquí.

Mati deslizó las baldas y las bolas correspondientes cayeron en un pequeño depósito que estaba abajo.

–Vamos a contar cuántas bolas de cada color hay –les propuso.

Los niños se pusieron a contar:

–Hay 13 bolas blancas, 3 rojas, 2 azules y 3 amarillas –dijo el gafotas.

–Si vuestro amigo os dice eso, ya sabéis que os mintió en una tarjeta –les dijo.

–¿¿Por qué?? –preguntó Ven.

–Porque el número de bolas de colores –dijo Mati –, sin contar las blancas, debe ser par. Si el número de bolas rojas, azules o amarillas es impar, es porque os han mentido en una tarjeta.

Los niños miraban a Mati con una curiosidad infinita. Gauss se rascó una oreja.

–Es más –continuó con voz misteriosa –, como son las bolas rojas y las amarillas las que han caído en número impar, me habéis mentido en la tarjeta correspondiente a la balda que tenía solo 2 bolas de colores: una roja y otra amarilla.

Los niños miraron rápidamente qué balda era la que tenía una bola roja y otra amarilla (y 4 blancas, pero eso no importaba en este momento) y comprobaron que, efectivamente, correspondía con la tarjeta rosa en la que habían mentido. Gauss ladró sin entusiasmo para llamar la atención, es un perro raro.

–Toma, es verdad, Mati –se sorprendió Ven.

–Por lo tanto –continuó ella –, como habéis mentido, esa balda no debió caer. Retiro esas bolas, que no las necesito y me quedo con el resto –añadió y eliminó 4 bolas blancas, 1 roja y una amarilla, las correspondientes a la balda de la tarjeta rosa –. ¿Cuántas bolas blancas quedan, chicos?

–¡¡9!! –gritó Sal.

–Eso es que habéis pensado en el 9 –dijo ella con una graciosa reverencia.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó el pelanas.

–¡Es chulísimo, Mati! –gritó Sal.

–Lo es –dijo –. A mí me encantó cuando me lo enseñó Jin.

–¡Hazlo otra vez! –le pidió el pequeño – Pera ahora no te decimos el número.

Mati asintió y los niños escribieron 11 en un papel que escondieron en el bolsillo de Ven. Gauss volvió a ladrar. Él es así.

–Ya –dijo Ven.

–¿Me podéis señalar en qué tarjetas está, por favor, mintiendo como máximo una vez?

Sal y Ven marcaron las tarjetas y se las dieron a Mati:

Mati las puso junto a la estantería y dejó caer las bolas correspondientes a las tarjetas marcadas.

–A ver, hay 9 bolas blancas, 2 rojas, 3 azules y 1 amarilla… –empezó a razonar la pelirroja –, eso significa que me habéis mentido en una estantería con una bola azul y una amarilla… –continuó –, así que me habéis mentido en esta tarjeta:

Los niños se miraron y se rieron nerviosos con complicidad. Gauss apretó los dientes con pelusilla.

–O sea, tramposillos –continuó ella –, que vuestro número sí está en esta tarjeta… –Mati deslizó la balda correspondiente a dicha tarjeta dejando caer 2 bolas blancas, 1 azul y una amarilla –. Vuestro número es el 11, las 9 bolas blancas que tenía y estas 2 que acaban de caer.

–¡Es genial! –gritó Ven.

–Y muy fácil –añadió Sal –: (1) le pedimos a alguien que piense un número y sin decirlo lo escriba en un papelito y lo esconda; (2) le pedimos que señale en qué tarjetas está, mintiendo, como máximo una vez; (3) deslizamos las baldas de las tarjetas correspondientes a las tarjetas señaladas y dejamos caer sus bolas; (4) contamos las bolas de colores (no las blancas): si hay un número par de cada color, no nos ha mentido y el número que pensó es el número de bolas blancas; si hay un número impar de bolas de 1 o más colores, es que nos ha mentido en la tarjeta de la balda que tenía bolas de los colores que aparecen en número impar; (5) si habíamos quitado dicha estantería, será porque nos dijo que estaba y era falso; quitamos las bolas de esa balda, contamos las blancas y ese es su número; (6) si la balda donde nos mintió estaba sin quitar, es porque nos dijo que ahí no estaba su número y mintió; la quitamos, dejamos caer las bolas, contamos cuántas bolas blancas hay y fin.

–¿Me lo puedo llevar al cole para jugar con mis amigos? –preguntó Ven.

–Pues, la verdad, es que me daría mucha pena que se perdiera alguna bolita –dijo ella –. Es un regalo de Jin de su museo de Tokio. Pero os voy a enseñar a hacer el mismo truco solo con las tarjetas, ¿vale?

–¡Vale! –aceptó el pequeño.

–En realidad, no necesitamos las bolas –continuó ella –aunque, claro, queda más bonito. Basta con que pongáis unas letras junto a las tarjetas (que serían como las bolas de colores) así:

–Las bolas blancas solo estaban en las tarjetas marcadas con ABC, AC, BC Y AB –les dijo –: había 8 bolas blancas en la tarjeta ABC, que es el número más bajo de esa tarjeta; 4 bolas blanca en la AC, que también es el número más bajo de esa tarjeta; 2 bolas blancas en la BC, su número más bajo y 1 una bola blanca en la AB, su número más bajo. Pensad un número del 1 al 15.

–El 3 –dijo Ven.

–Señala en qué tarjetas aparece y, recuerda que solo puedes mentir una vez o no mentir –le pidió Mati.

Ven se puso manos a la obra:

–Se trata ahora de sumar el número de aes, bes y ces de las tarjetas que has marcado en verde –dijo Mati –: 1 A, 1 B y 2 C. Como hay un número impar de A y B, significa que nos has mentido en la tarjeta AB: has dicho que ahí no estaba pero sí está. Así que tu número está en las tarjetas AB, BC, A y C. Como en las tarjetas A, B y C no había bolas blancas, solo tengo que sumar las bolas blancas de AB y BC, o lo que es lo mismo, elegir el número más pequeño de AB, 1, y sumarlo al más pequeño de BC, 2. Por lo tanto, tu número es 3. cosa que ya sabíamos.

–¡Bien! –dijo Ven.

–¿Y si cuando sumas las A, B y C de las tarjetas que te señalan salen los 3 pares, Mati? –preguntó Sal.

—Si los 3 son números pares –le dijo –, como en las bolas si los 3 colores salen pares, significa que no ha mentido y solo hay que sumar las bolas blancas (o el número más pequeño) de las tarjetas señaladas. Salvo las tarjetas A, B y C que no tenían bolas blancas, claro.

–¡Es chulísimo! –volvió a decir el pequeño –Y sirve aunque el gafotas me engañe.

–¿Cómo se inventó Jin este truco? –quiso saber Sal.

–Usando la escritura de los números en binario –respondió la pelirroja –como vimos aquella vez, y añadiendo unos dígitos de control y correción para detectar la mentira o el fallo.

–¿Me lo explicas? –le pidió el gafotas.

–Claro –contestó –, vamos a escribir en una tabla la expresión en binario del 1 hasta la del 15, usando 4 columnas:

–Fijaos –continuó ella –, en la primera columna, la que marco con ABC, los números que tienen un 1 en esa columna son precisamente los que aparecen en la tarjeta ABC: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15.

–-Es verdad –dijo Sal.

–Y lo mismo ocurre con las otras 3 columnas –les dijo –. Ahora vamos a añadir 3 columnas más que serán nuestro código corrector de error.

–Ahora, nos fijamos en aquellas columnas que tengan una A: la ABC, la AB y la AC –siguió ella.

–Ahora, por filas, para cada número del 1 al 15, sumamos los 3 números marcadas en naranja en su fila: si nos sale par, ponemos un 0 en la columna de la A, si nos sale impar, ponemos un 1.

–Ya tenemos los números que aparecen en la tarjeta A, los que tienen un 1 en la columna que acabamos de rellenar: 1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15  –concluyó Mati.

–Mola –dijo Ven.

–Hacemos lo mismo con las columnas que tienen B: ABC, AB y BC –continuó.

–Ya tenemos los números de la tarjeta B –siguió –. Solo nos queda hacer lo mismo con las columnas que tengan C: ABC, AC y BC.

–Con esto, tenemos los números del 1 al 15 expresados con 7 cifras, entre 0 y 1—dijo ella –. Los 4 primeros dígitos representan la expresión binaria del número y los 3 últimos son el código corrector de errores.

–Cuando os he preguntado en qué tarjeta estaba el 3 –dijo –, me habéisis dicho en la BC, en la A y en la C. O sea, que me habéis dado este número 0010101, es decir:

0(ABC) 0(AC) 1(BC)0 (AB)1 (A) 0(B) 1(C).

Lo primero que tengo que hacer es comprobar si es correcto, para ello uso los dígitos correctores, sumando las columnas como antes.

–Pero, oh –exclamó la pelirroja –, detecto que las columnas A y B están mal. En la A debería aparecer un 0 y en la B un 1. Por lo tanto, hay un error en la columna AB: en esa columna, en lugar de un 0 debería haber un 1 y, por lo tanto, la expresión en binario de vuestro número es el 0011, que es la expresión en binario del 3.

–¡¡Lo mola todo!! –gritó Ven.

–Es maravilloso… –añadió su hermano.

–Y muy útil –dijo Mati –, los códigos correctores de errores nos permiten detectar y arreglar fallos en la transmisión de datos, por ejemplo, cuando se araña la superficie de un CD.

–¿Sí? –Ven estaba alucinando.

–Sí, Ven –le respondió –. También se usan códigos detectores de error en nuestro número del DNI o en el IBAN de banco, pero estos solo nos dicen que hay un error, no nos permite corregirlos.

–Oye, Mati, ¿nos presentarás algún día a Akiyama? –preguntó el pelanas.

–Por supuesto –respondió Mati –, estoy segura de que Gauss y él serán muy buenos amigos.

FIN

 (*) Sensei: Es una palabra japonesa que significa maestro, profesor, sabio…

Espero que os haya gustado este truco, a mí me encantó cuando me lo enseñó Jin Akiyama. Respecto al juego de cartas, el de las 21 cartas que estaban jugando Sal y Ven al principio de esta aventura, os lo voy a explicar, es un juego clásico, pero por si no lo conocéis.

Se juega con 21 cartas, se pide a alguien que elija una, sin enseñártela, y la esconda de nuevo en el mazo. Barajáis muy bien las cartas. Las vais poniendo boca arriba en 3 montones y le pedís a vuestro amigo que recuerde en cuál de los 3 está su carta. Hemos hecho una ilustración con las cartas boca abajo, pero se hace boca arriba, para que tu amigo pueda ver dónde está la suya.  Para ti, en principio, son todas iguales, no necesitas prestar atención al orden en que van apareciendo.

Recoges los montones, dejando el elegido en el centro, entre los otros 2. Si lo haces así, la carta elegida está entre la 8 y la 14: primero van las 7 primeras del montón de arriba, luego el montón de la elegida y el último.  Las vuelves a poner en 3 pilas o montones pidiendo a tu amigo que se fije en qué montón cae. Hemos pintado de rojo las cartas sospechosas para ver en qué posiciones quedarán la segunda vez que hagas los montones:

Fíjate que la carta que quieres está entre las posiciones 3 y 5 de cada montón: en la pila 1, las sospechosas son la 3 y la 4; en la pila 2, son la 3, la 4 y la 5; y en la pila 3, la 4 y la 5. En cualquier caso, entre la 3 y la 5 como hemos dicho. Ahora le pedimos que señale la pila en la que está su carta y recogemos como antes, dejando ese montón (o pila) en medio, entre los otros 2.

Si lo hace así, solo nos quedarán 3 cartas sospechosas: las 7 del primer montón no lo son, ponemos las del segundo y como en ese las sospechosas son la 3, 4 y 5, ahora serán la 10, la 11 y la 12. Y ya está, ya no hay más cartas sospechosas. Fíjate que pasa al colocarlas, de nuevo, la tercera y última vez,  en 3 pilas:

Efectivamente, ya solo tenéis una carta sospechosa en cada pila, la cuarta. Pedidle que señale, otra vez, el montón, recogéis como antes, dejando el montón señalado en el centro, y contáis 11. ¡Tachán! 

Si falláis, es porque vuestro amigo es un pelín mentiroso y, en ese caso, hacedle mejor el truco de Jin Akiyama  

Hasta muy pronto.

MATI

La entrada Adivinando en 55 segundos fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

–Tranquilo, Ven –lo tranquilizó ella –. Despacito y buena letra…

–Que el hacer las cosas bien importa más que el hacerlas, ¿no? –remató Sal la frase de la pelirroja –Esa cita es de Antonio Machado, ¿verdad, Mati?

–Ajá –dijo Mati mientras abría no sin esfuerzo otra caja en la otra punta del salón.

–Tú, poeta –interrumpió Ven dirigiéndose a su hermano –, dime dónde guardamos los patines. Y quítate esas gafas, que pareces un niño loco.

–Voy, Ven –respondió el gafotas –. En realidad no queda tanto,  son solo 54 cajas, exagerao.

–¿Te parecen pocas cajas, gafotas? –protestó el pequeño –El señor del camión nos ha mirado con desconfianza, seguro que él hubiera conseguido guardarlo todo en menos cajas…

–Bueno, bueno, Ven –dijo de pronto Mati –, el problema de almacenar objetos es en el menor número de cajas posible no es fácil ni siquiera para el señor de la casa de mudanza. De hecho, es un problema de los que los matemáticos llamamos de naturaleza NP-duro.

–Ah, ya me acuerdo, Mati –interrumpió de nuevo Ven (al que ahora llaman a menudo ‘Pelanas’ en casa desde que se ha dejado crecer la melena) –, esos son de los que no se pueden resolver ni con ordenador, ¿no?

–Eso es, Ven –asintió la gafotas –. De los que no se puede saber su solución óptima, la mejor, ni con la computadora más potente. A este problema, el de empaquetar en el menor número de cajas se le conoce, como el problema del bin packing, en inglés, que significa precisamente eso, empaquetamiento (packing) en caja (bin).

–¿Por qué es tan difícil, Mati? –preguntó Sal con su curiosidad habitual.

–Pues… A ver… Entre otras cosas –dijo esta –porque el número de combinaciones de objetos que se pueden hacer para empaquetar es muy, muy grande, enorme y habría que comprobarlos todos.

–Entonces, ¿no hay ningún método para hacerlo lo mejor posible? –volvió a preguntar Sal.

–Bueno, hay distintos métodos que dan soluciones relativamente buenas –contestó ella –, pero no hay ninguno que se pueda hacer en tiempo razonable para encontrar la mejor.

–¿Nos cuentas alguno, Mati? –le pidió.

–Vale –les dijo –, así descansamos un poco de la mudanza.

Los niños se sentaron a escuchar a Mati. Gauss también, le gusta hacerse el interesante. Mati empezó a contarles:

–El problema del empaquetamiento en cajas para una mudanza en realidad es un problema tridimensional, porque estamos tratando de resolver un problema de volúmenes. Si fuera un problema de áreas, por ejemplo de colocar pegatinas de distintas formas (sin superponerlas) en el menor número de cartulinas posibles, sería un problema bidimensional, de 2 dimensiones. Pero os voy a contar la versión unidimensional, solo una dimensión, porque es más fácil para nosotros y nos sirve para hacernos una idea tanto de la versión de 2 dimensiones como de la de 3 dimensiones del problema.

Así que vamos a pensar en una de las dimensiones, por ejemplo, la altura. Nuestros objetos (los que tenemos que empaquetar) serán todos rectángulos con la misma base y lo que varía de unos a otros es la altura. Las cajas donde queremos agruparlos serán también rectangulares, con la misma base que los objetos y con altura, por ejemplo, de altura 10. Vamos a pensar que nos van dando objetos de distintas alturas en este orden: {4, 8, 5, 1, 7, 6, 1, 4, 2, 2} y que queremos colocarlos en cajas de altura 10, usando el menor número posible de cajas.

–Por lo menos necesitamos 4 cajas, Mati –exclamó Ven –, porque si sumas todas las alturas nos da 40.

–Eso es, Pelanas –dijo Mati sonriendo –, vamos a ver si lo conseguimos. El primer método que os voy a enseñar es el Next Fit: si no cabe en esta, en la siguiente. No es un método demasiado eficiente pero es muy simple. Empezamos con una caja y vamos metiendo los objetos siguiendo el orden de izquierda a derecha, si al tomar un nuevo objeto no nos cabe en esa caja, la soltamos y cogemos una caja nueva. Y así sucesivamente.

–O sea –dijo Ven –, cogemos la primera caja y metemos el objeto de 4, que es el primero por la izquierda, ¿no?

–Eso es –confirmó Mati.

–Y ahora, como el siguiente no cabe porque mide 8, tenemos que coger otra caja.

–Sí, señor, así es, Pelanas –respondió Mati con un guiño.

–El siguiente que es de 5 no cabe en esta segunda caja –siguió Ven –, así que cogemos otra nueva, ¿no?

–Ajá.

–¿Y por qué no lo metemos en la primera, Mati? –quiso saber Sal.

–Porque no es ese el método que estamos usando –dijo ella –. Con nuestro método no tenemos que recordar como están las cajas anteriores, ni volverlas a mirar: si no cabe en la que estoy usando en ese momento, tomo una nueva.

–Pues nada, cogemos otra caja –siguió el pequeño.

Sal y Ven siguieron colocando las cajas, en el dibujo que Mati les había hecho en un papel, siguiendo el método del Next Fit hasta que las colocaron todas.

–Necesitamos 6 cajas –concluyó Sal –. Demasiadas, creo yo.

–Sí, son muchas –dijo Mati –, pero, como os he dicho antes, este método tiene la ventaja de que no tenemos que estar pendientes de cómo de llenas están las cajas que ya hemos usado. Es un método que no necesita usar mucha memoria. En cualquier caso, os voy a proponer otro método, a ver si lo hacemos con menos cajas. Se trata del First Fit: en la primera caja que quepa. Hacemos como antes, los vamos colocando tal como aparecen de izquierda a derecha, pero miramos de las cajas que vamos usando, cuál es la primera en la que cabe.

–Empezamos igual que antes, ¿verdad? –preguntó Ven.

–Sí, claro.

–Y seguimos igual que antes, ahora el 8 va a otra caja –dijo Sal.

–Eso es –confirmó Mati.

–Pero ahora la del 5, la metemos en la primera caja, ¿verdad, Mati? –dijo Ven con entusiasmo.

–Efectivamente, caballero.

–Y la siguiente del 1 también la podemos poner en la primera caja, Ven –dijo Sal.

Los dos hermanos siguieron organizando las cajas con el First Fit hasta que las colocaron todas.

–Huy, qué rabia –dijo el pelanas –, hemos tenido que usar la quinta caja para meter un objeto de 2, y teníamos 2 huecos de 1… ¿Lo podemos partir por la mitad, Mati?

–¿Sí? –respondió ella – ¿Y si ese objeto de 2 es tu álbum de cromos del mundial?

–Vale, vale, lo pillo –aceptó el pequeño.

–¿Queréis que intentemos mejorarlo un poco? –propuso la pelirroja a los niños.

–¡Sí! –dijeron ellos al unísono.

–Una mejora de estos métodos –siguió Mati –se puede conseguir si sabemos desde el principio, como en nuestro ejemplo, cuántos objetos hay que colocar y de qué tamaño. Pero eso no suele pasar en la vida real…

–¿Por qué? –la interrumpió el gafotas.

–Porque, como habéis comprobado con nuestra mudanza –dijo ella –, cuando crees que has empaquetado todo, aparece un nuevo objeto que hay que guardar.

–Toma, claro.

–El método que os propongo consiste en, conocidos todos los objetos que tenemos que guardar, ordenarlos por tamaño antes de empezar.

–¿De mayor a menor? –preguntó Ven.

–Sí, eso es de mayor a menor, Ven.

Los niños dibujaron de nuevo los objetos, pero ahora ordenados de mayor a menor.

–¿Y ahora qué hacemos, Mati? –preguntó Sal –¿El First Fit o el Next Fit?

–El que vosotros queráis.

–Hacemos el First, ¿vale, Ven?

–Pues, vale.

–Ponemos el 8 en la primera caja…

–El 7 en la segunda, el 6 en la tercera y el 5 en la cuarta –apostilló Ven –. Todos esos números por parejas suman más de 10 y no caben en ninguna caja dos de ellos.

–Muy bien, Ven –dijo Mati –. Efectivamente, con los 4 primeros usamos ya 4 cajas.

–Sí, Ven –dijo su hermano –, pero ahora, si seguimos el orden y vamos colocando en el primer hueco que vamos encontrando, fíjate qué nos queda:

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven –¡4 cajas! ¡No se puede hacer mejor! ¡Eres un crack, Sal! ¡Elegiste bien el First!

–No dudo que Sal sea un crack –dijo Mati –, pero en este ejemplo, si lo hacéis con el Next Fit, también salen 4.

–Vamos a hacerlo –propuso Ven con entusiasmo.

–Yo creo que eso se lo dejamos a nuestros amigos para que lo intenten, ¿vale? –dijo la gafotas –Nosotros tenemos que seguir con la mudanza, que no terminamos.

–Pues tampoco es tan difícil, Mati –dijo Sal.

–Bueno, es que hemos hecho unos ejemplos con la versión más simple –respondió ella –. Pero, ¿y si no todos los objetos tienen la misma forma? ¿Y si podemos escoger cajas de distintos tamaños? ¿Y si son objetos tridimensionales? ¿Y si hay que guardar patines, drones de juguete, balones… ?

–Vale, vale –aceptó Sal arrugando la nariz –, puede ser muy, muy difícil, sí. Voy a seguir colocando cosas.

–Sí, a ver si terminamos hoy… –añadió Ven –. Y luego llamamos a Culogoma para decirle que ya estamos en Naukas, ¿vale?

–Claro –respondió Mati –, pero yo creo que ya debe saberlo porque nuestro Gauss lleva un rato ahí con su móvil…

FIN

Hoy es un día muy especial para los protagonistas de estas historias, porque hoy hace 3 años que aparecieron por primera vez. Lo hicieron en el Pequeño Libro de Notas, un maravillosos semanario infantil que, por cosas de la vida,  dejó de publicarse en diciembre del año pasado

Desde aquel 14 de mayo les han pasado muchas cosas a Mati, Sal, Ven y Gauss, y todas buenas. Y desde entonces, cada año que han cumplido han recibido grandes regalos. Cuando cumplieron un año, dos nuevos amigos, Fis y Mr. Green, llegaron para contarnos muchas cosas interesantes de Física y Astronomía. Con el segundo cumpleaños, nuestros amigos pudieron ver su libro Hasta el infinito y más allá en la calle.

En este tercer cumpleaños tienen también un regalo muy especial, la publicación de su primera mateaventura en Naukas. Nos han contado nuestros protagonistas que están un poco nerviosos porque no conocen a  los nuevos lectores. Bueno, Gauss  no, la verdad, es un perro muy valiente y temerario.

Muchas gracias a todos los que nos seguís desde hace 3 años o desde hace 3 días. Aunque haya quien diga que este mundo virtual es frío y deshumanizado, nos llega el cariño de muchos de vosotros. Muchas gracias, de todo corazón.

En este nuevo blog, y gracias a José Cuesta, podéis encontrar todos los capítulos anteriores de Mati y sus mateaventuras y también todos los de Mati, una profesora muy particular. Desde ahora, este será el rincón donde encontrar todo lo que tienen Mati, Sal, Ven y Gauss.

Nada más, esperamos que sigamos viéndonos por aquí a menudo.

Un beso muy gordo.

Clara y Raquel

La entrada Una mudanza con 54 cajas fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

—Pero le llamamos Mati, porque es mas cortito.

—Ven, no interrumpas a Mati.

—Gracias, Sal. Pues sí, me llaman Mati porque es más corto y porque asusta menos, a mucha gente no le gustan las palabras esdrújulas —Mati sonríe y guiña un ojo.

—Sí, no le gustan las catástrofes, ni los parásitos, ni los relámpagos, ni los murciélagos, ¡ni las víboras! —Ven cierra los ojos con fuerza.

—Pues a mí me gustan los pájaros, los árboles, las pirámides, las películas, ¡los sábados! —Sal sonríe con felicidad.

—Y a mí —dice la pelirroja —me gustan la lógica, la informática, la estadística, los polígonos, los vértices, los números…

—¡Es fantástico! —sentencia Ven.

—Sigamos con las presentaciones. Ellos son Sal y Ven, mis dos amigos, curiosos y simpáticos.

—A Sal le llamamos “el gafotas”, pero, tranqui, que a él le gusta.

—Sí —reconoce Sal no sin ruborizarse.

—Y él —continua Mati— es Gauss, la mascota de Sal y Ven.

—Y es el perro más listo de todos los perros, por eso le llamamos así —puntualiza Sal.

—Y porque él se presenta así, Sal, “Gauss, Gauss, Gauss” —dice Ven.

—Efectivamente, —confirma Mati y continúa —. No sé si nos conocéis pero venimos de vivir más de 2 años en Libro de Notas, un gran portal que siempre fue nuestra casa. Pero cerró. Nos dio mucha pena, muchísima. Afortunadamente, Naukas nos invitó inmediatamente a formar parte de su familia, Y aquí estamos. Muy contentos y agradecidos.

—Por cierto, ¡qué chulo es Naukas por dentro, ¿no, Sal?

—¡Chulísimo! ¡Está todo lleno de Ciencia por todos sitios!

—Mucha ciencia. —dice Mati y continúa— Y escepticismo y humor. Nos hacía muchísima ilusión llegar a Naukas. A partir de ahora apareceremos por aquí con muchas matemáticas para compartir con vosotros. No os despistéis porque no tardamos mucho.

—¡Eso! —añade Sal —¡No os vayáis muy lejos! ¡Pásate al Mati style!

—¡Uop, op, op, op! ¡¡OPPA MATI STYLE!!

La entrada 1..2..3…π… Naukas, ¿nos veis? fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

—¡Qué rabia! Yo quería que el cometa ISON hubiera sobrevivido al pasar tras el Sol –-dijo Ven mientras miraba a través de Leo los restos en forma de “V” del cometa.

—Algunos decían que se podría haber visto incluso de día. ¿Te imaginas? –-añadió Sal.

—Ya… Pero mira lo que ha quedado. ¡Una “V”! –-protestó el pequeño indignado.

—Bueno, Ven, es la V de tu nombre –le dijo el gafotas.

Mister Green, atento a la conversación de nuestros amigos intervino.

—Chicos, no os cabreéis con el cometa. ¡Podría haber sido peor! –-dijo.

—¡Ah! ¿Sí? ¿Y qué podría haber pasado? –-preguntó Sal.

—Podría haber pasado que el cometa se hubiese desintegrado por completo y tras salir por el otro lado del disco solar tan sólo hubiese quedado una nube difusa prácticamente indetectable. Lo que ha ocurrido es que su núcleo se ha fragmentado –-dijo Mister Green.

—¿Y en cuántos trozos se ha roto? –-preguntó Ven.

—No se sabe exactamente, pero seguramente hayan sido varias decenas –-dijo Mister Green.

—A mí me gusta el número 53 porque es primo –-dijo Sal.

—Pues mira, ese número puede representar el número de fragmentos en los que se ha roto el núcleo del ISON –-añadió Mister Green con un guiño.

Mati, que también estaba atenta a la conversación, intervino:

—Chicos, miradlo por el lado bueno. Ahora el cometa ISON parece un compás, una herramienta que se usa en geometría y que “ya vimos”:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/09/26/solo-con-regla-y-compas/ que nos puede ayudar para resolver muchos problemas.

—Pues a mí me mola más pensar que son dos semirrectas formando un ángulo agudo –-añadió Ven.

—¿Lo ves? También puede ser divertido que forme un ángulo –-dijo Mati.

Mati se quedó pensativa y tuvo una idea. Desapareció y segundos después apareció con un extraño artilugio entre manos.

—¿Qué es eso? – preguntaron Sal y Ven al unísono.

Aprovechando la idea del compás que formaba el cometa ISON, Mati fue a por ese extraño cono y se lo explicó a los jóvenes amigos.

—Se llama cono de Apolonio y sirve para explicar las secciones cónicas –-dijo la gafotas.

—¿Las secciones… qué? –-preguntó Sal un poco perdido.

Hasta Gauss parecía extrañado con el instrumento que había sacado la pelirroja. Pero como no tenía muchas ganas de jugar por el frío que hacía esa noche, se recostó sobre sí mismo para entrar en calor mirando a Sal y Ven con curiosidad para ver qué hacía el extraño juguete de Mati.

Mister Green les explicó que los planetas giran alrededor del Sol formando una curva que se llama elipse. También que con un compás pueden trazarse circunferencias. Tanto la elipse como la circunferencia son curvas cónicas.

—¿Y cómo se usa el cono de Apolonio? –-preguntó Ven.

—Es sencillo –-dijo Mister Green y con el cono en la mano les contó cómo funcionaba –. Si atravesamos el cono con un plano paralelo a su base, el contorno que obtenemos es una circunferencia, la figura geométrica que podemos dibujar con un compás –-mientras tanto, Mister Green quitó la parte superior del cono para mostrar la circunferencia—. Del mismo modo, si el plano es inclinado pero no llega a cortar la base, lo que obtenemos es una elipse, la curva que recorren los planetas alrededor del Sol –al tiempo, desmontó otra parte del cono para mostrar la figura—. Pero aún se pueden conseguir dos figuras más con el cono de Apolonio: la parábola y la hipérbola –-Mister Green volvió a desmotar el cono por las dos partes que quedaban mostrando las nuevas formas.

Sal y Ven, incluso Gauss, estaban asombrados viendo cómo el cono de Apolonio se iba desmotando dando a conocer las diferentes secciones cónicas.

—¿Quién es Apolonio? – preguntó Sal.

—Apolonio de Perge fue un científico que vivió hace 2200 años que estudió las secciones cónicas, dando nombre a la parábola, la hipérbola y la elipse que acabáis de conocer –-dijo la pelirroja.

Ven entonces empezó a recordar el principio de la conversación.

—Me ha gustado aprender las curvas del cono de Apolonio, pero lo que yo quería ver era un cometa –-dijo.

Mati dejó el cono de Apolonio en el suelo y, con una sonrisa, se dirigió a Ven.

—Seguro que muy pronto otro cometa nos sorprenderá por el cielo –-dijo la pelirroja.

—¿Cuándo? –-de nuevo preguntaron Sal y Ven a la vez.

Mister Green le pidió a Leo que apuntase a una región muy determinada en la constelación de Hércules, muy cerca del cúmulo globular M13. Después, invitó a Sal y Ven a mirar a través de Leo. Quedaron embobados.

—¡Cómo mola! ¡Otro cometa! –-exclamó Ven.

—¡Cómo brilla! ¡Brilla más que el ISON! –-dijo Sal entusiasmado.

—Si os fijáis, a simple vista ya se puede ver –-dijo Mister Green señalando dónde estaba el cometa –-, se llama Lovejoy.

Sal y Ven afinaron su vista hasta que consiguieron localizar el cometa. Pasaron varios minutos hasta que salieron de su ensimismamiento y fue Ven el que preguntó a Mister Green:

—¿Y cuándo pasará muy cerca del Sol?

—Al Lovejoy le toca el 22 de diciembre, ¡el día del gordo de Navidad! –-dijo Mister Green.

—¡Cómo mola! ¿Y sobrevivirá después de pasar cerca del Sol? –-exclamó Sal.

—Esperemos que sí. ¡Así podremos empezar el año con un cometa brillante en el cielo! –-dijo Mati.

Pasaron los minutos, y tras la noche de observación astronómica todos decidieron irse a dormir esperando que el cometa Lovejoy deje una bonita imagen en los cielos invernales.

Mati olvidó el cono de Apolonio, pero cuando fue a recogerlo, Gauss había marcado su territorio.

FIN

Pues sí, hoy también hemos tenido el honor de que «Mr. Green»:https://twitter.com/aperezverde nos visite y nos cuente esta historia maravillosa sobre cometas. En estas fechas en las que celebramos el solsticio de invierno y que los días empiezan a ser más largos que las noches, parece mágico que se acerque un cometa para celebrar con nosotros el triunfo de la luz sobre la oscuridad. Pero no es magia, es Ciencia. Y es que la Ciencia es tan alucinante que no necesitamos nada más para sorprendernos y disfrutar, ¿verdad?

Si quieres aprender más cosas con él, con Mr.Green, te recomiendo que te des un paseo por «su blog»:http://lospilaresdelaciencia.blogspot.com.es/, te va a encantar.

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Volvemos pronto con más historias, no dejéis de mirar al cielo… ni de soñar.

MATI

La entrada 53 fragmentos de cometa fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

—Te he dicho que ahora no puedo, Ven. Tengo que terminar con esta tarea.

—Jo, ¿para qué quiero que seas mi hermano si no tienes tiempo de jugar conmigo? —protestó el pequeño con cara de ser el ser más desgraciado del planeta.

—Si quieres, puedes ayudarme con esto, Ven –propuso Sal para acabar con la agonía de su hermanito—, tengo que calcular los números más pequeños que 100 que sean primos…

—Vaya, rollo –volvió a protestar Ven –, eso no sirve para nada, ¡yo quiero jugar a los espías!

—Pues para ser un buen espía hay que saber mucho de números primos –Mati acababa de llegar.

—Hola, Mati –la saludó Sal.

—Hola, Mati –dijo Ven con su voz penosa mientras Gauss resoplaba con alivio –Los espías no necesitan saber nada de mates.

—Huy, te equivocas, Ven –dijo ella –. Una de las misiones de los espías es descifrar mensajes cifrados y las mejores técnicas de cifrados de mensajes usan un sistema basado en números primos con muchas mates.

—Ya no me acuerdo de que era un número primo… —masculló Ven.

—Un número natural es primo —le contó la pelirroja – si es mayor que 1 y solo se puede dividir (con división exacta) por él mismo y por el 1. Por ejemplo, el 2, o el 3, o el 5…

—Ah, es verdad –aceptó Ven.

—Estamos estudiando los números primos en clase, Mati –intervino Sal –, hoy tengo que calcular todos los primos menores que 100 con la criba de Eratóstenes.

—Muy bien –dijo ella –, podemos hacerlo los 3 juntos.

Gauss protestó un poco pero sin entusiasmo; al fin y al cabo, el haber sido excluido de esa tarea le daba margen a una pequeña siesta. Posiblemente la mascota ignoraba lo que fascinaban los números primos a aquel matemático pro el que se lleva su nombre.

—¿Cómo? —preguntó Ven.

—Escribiremos en una tabla todos los números naturales (los que sirven para contar) del 2 al 100 –dijo Mati –. No ponemos el 1 porque el 1 ya sabemos que no es primo.

—Ahora –les dijo –, marcamos de verde el 2, que es el primer primo que encontramos y marcamos de amarillo todos los múltiplos de 2, que no serán primos porque se pueden dividir por 2.

—Los múltiplos de 2 son los pares –dijo Ven.

—Eso es –confirmó la gafotas –. El siguiente primo, es el 3, que es el primer número que aparace en nuestra tabla sin colorear: lo pintamos de verde. A los múltiplos de 3 los pintamos de amarillo también, porque no serán primos.

—Algunos múltiplos de 3 ya están marcados, Mati –dijo el pequeño.

—Claro –dijo el gafotas –, esos son los múltiplos de 6, porque serán múltiplos de 2 y de 3.

—¿Ahora con el 5, Mati? —preguntó Ven.

—Efectivamente –confirmó ella –, pintamos el 5 de verde y sus múltiplos de amarillo.

—Los múltiplos de 5 son muy fáciles de reconocer –dijo Ven con una sonrisa –: son los que acaban en 5 y en 0, y como los que acaban en 0 son pares, ya están marcados.

—Muy bien, Ven –dijo Mati mientras le alborotaba el pelo.

—Ahora, 7 y sus múltiplos –continuó el pequeño emocionado –: ¡toma verde para el 7 y amarillo para sus múltiplos!

—Y ya está –anunció solemne Sal–, ya todos los que quedan son primos.

—¿Cómo lo sabes, gafotas? —preguntó su hermano desconfiado.

—Pues porque el primer múltiplo de 11, por ejemplo –respondió el aludido –, que no es múltiplo de ninguno de los primos anteriores es el 121 que nos está en la tabla. Y así, con los demás también: los múltiplos de los que quedan que no son múltiplos de 2, 3, 5 o 7, ya son mayores que 100.

—Eso es –corroboró Mati –, ya todos los que quedan son primos.

—Mola… —dijo Ven mirando la tabla que habían hecho.

—¿Y cómo usan los espías los primos, Mati? —preguntó Sal curioso.

—Bueno, no exactamente o no solamente los espías –dijo ella –. Los primos se utilizan para codificar mensajes usando un método, que se conoce como «RSA«:http://es.wikipedia.org/wiki/RSA, que usa unas claves basadas en números primos, pero muy, muy grandes. Es el método que ha usado, por ejemplo, Edward Snowden, el espía de la NSA, para delatar a dicha agencia sin que ellos, los de la NSA, pudieran descifrarlo.

—No entiendo… —protestó Ven.

—Mira, Ven –siguió Mati –, multiplicar dos números primos es una operación muy sencilla, sin embargo, si nos dan un número del cual sabemos que es el producto de dos primos, descomponer dicho número para encontrar los dos primos que están escondidos en él es una operación muy complicada…

—Para eso habría que factorizar el primo que te dan en producto de primos, ¿no, Mati? —dijo Sal – Es lo que estamos haciendo ahora en nuestra clase, aprender a factorizar en números primos.

—Y eso, ¿¿cómo se hace?? —preguntó Ven despavorido.

—Por ejemplo–explicó Sal –, si te dicen que factorices 315, tienes que ver cuáles son sus divisores, empezando por los más pequeños, ¿el 2 es divisor de 315, Ven? ¿Se puede dividir 315 entre 2?

—Hombre, no –dijo el pequeño –, 315 no es par.

—Muy bien –siguió el gafotas en plan didáctico –, ¿y 315 es divisible por 3?

—No lo sé –dijo Ven –, voy a buscar un papel para hacerlo.

—No hace falta, Ven –dijo Sal –. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras nos da un múltiplo de 3. ¿Cuánto suman las cifras de 315?

–A ver, 3 más 1 más 5… 9 –dijo Ven –, que es múltiplo de 3.

—Por lo tanto –siguió Sal –, 315 es divisible por 3. Lo dividimos.

Ven trajo un cuaderno e hizo la división; es muy bueno dividiendo por una cifra.

—Me sale 105, Sal –dijo finalmente.

—Muy bien –dijo Sal –, ahora sabemos que 315 es igual que 105 por 3. Ahora continuamos con 105, pero desde el primer primo, ¿105 es divisible por 2?

—Por 2, no –respondió Ven –, pero por 3 sí, porque sus cifras suman 6. ¿Hago la división?

Sal afirmó con la cabeza. Gauss ladró, nadie sabe por qué. Mati sonreía mirando a sus amigos.

—Me da 35, Sal –dijo Ven.

—Muy bien –continuó este –, ya sabemos que 315 es igual que 3 x 3 x 35. Ahora, lo hacemos con el 35, ¿es divisible por 2?

—No –respondió Ven –, ni por 3, porque sus cifras suman 8.

—Eso es —dijo el gafotas –, el siguiente primo es 5, ¿es divisible por 5?

—¡Sí! —dijo Ven –Porque termina en 5, y los múltiplos de 5 son los que acaban en 0 o en 5.

—Muy bien, Ven –dijo su hermano mientras arrugaba la nariz para subirse las gafas.

—Si divido 35 por 5 –continuó Ven –sale 7, que ya es primo.

—Ea, pues ya hemos terminado –dijo Sal –315 es 3 x 3 x 5 x 7.

—Muy chulo –dijo el pequeño –, pero esto, ¿pasa qué sirve?

—Pues, por ejemplo –dijo Sal – para saber si dos números son primos entre sí. Si no tienen ningún divisor primo en común, se dice que 2 números son primos.

—Tienes razón, Sal –intervino Mati –, pero para saber si dos números son primos entre sí no es necesario factorizar, basta con calcular el máximo común divisor de esos 2 números. Si el máximo común divisor de 2 números es 1, se dice que son primos entre sí, o primos relativos, aunque ninguno de los 2 sea primo por sí mismo. Por ejemplo, 15 y 8 son primos relativos porque no tienen ningún divisor en común, pero ninguno de los 2 es un número primo.

—Y para calcular el máximo común divisor de 2 números, ¿no hay que factorizar en factores primos? —preguntó el gafotas extrañado.

—No –respondió la pelirroja –basta con aplicar el algoritmo de Euclides.

—Ah, sí, me suena –dijo el gafotas —¿Cómo era?

—A ver –dijo Mati –, vamos a calcular el máximo común divisor de 9876 y 3321 sin factorizar, con el algoritmo de Euclides. Dividimos el mayor entre el más pequeño y nos fijamos en el resto.

—Ahora –siguió Mati –, dividimos el divisor 3321 entre el resto, 3234. De nuevo, nos fijamos en el resto:

—Ya me acuerdo –dijo Sal –, ahora el divisor 3234 entre 87, ¿no?

—Ajá –confirmó ella.

—Yo, yo –dijo Ven –. Ahora 87 dividido entre 15, ¿verdad?

—Eso es –dijo Mati.

—Y ahora –siguió Ven –, dividimos 15 entre 12…

—Y 12 entre 4… —dijo Sal –, y ya nos sale 0 en el resto, Mati.

—Pues, ya está –dijo ella –, el máximo común divisor de 9876 y 3321 es el último resto distinto de 0, o sea 3.

—Es muy chulo, Mati –dijo Sal –, y sin factorizar…

—Efectivamente, Sal –añadió ella –, y teniendo el máximo común divisor, ya tenemos el mínimo común múltiplo:

—Pues así parece más fácil que factorizando, Mati –dijo el gafotas.

—Sí, sobre todo –dijo esta con un guiño –si tenemos que calcular el máximo común divisor entre 126816 y 147952.

—Así que los espías saben muchas mates en realidad… –dijo el pequeño Ven con la mirada perdida en algún rincón del mundo.

—El que parece que no entiende muy bien para qué sirve el pinganillo de espía –interrumpió el gafotas muerto de la risa – ¡es nuestro Gauss!

FIN

Pues sí, como nos ha contado Mati, el ‘secreto’ para codificar mensajes y que no puedan ser descifrados por quien no queremos, consiste en usar primos muy grandes en las claves. Porque si tenemos, por ejemplo, 999809 y 404081, ambos primos, es muy fácil obtener el producto de ambos. Pero si lo que nos dan es el 404003820529 y, para descifrar la clave, necesitamos descomponer este número en producto de 2 primos, tendríamos, en principio, aunque hay métodos más sofisticados, que probar con todos los primos hasta encontrar el primero de los números que lo divide (en este caso 404081). Esta dificultad en factorizar números muy grandes, hace que, por ejemplo, podamos comprar de forma segura en internet.

En este capítulo de Mati, se ha hablado de múltiplos, divisores, máximo común divisor, mínimo común múltiplo… Os dejo el enlace a algunas entradas relacionadas de nuestro blog «Mati, una profesora muy particular«:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/category/la-hora-de-las-tareas/ que os pueden ayudar si no entendéis algo de esta entrada:

«¿Son o no son primos?«:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/06/27/son-o-no-son-primos/ Se explica (también) el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de 2 números.

«El ‘más menor’ de los múltiplos y el ‘más mayor’ de los divisores«:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2013/01/23/el-mas-pequeno-de-los-multiplos-y-el-mas-mayor-de-los-divisores/ Sobre máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

«¿Y si hacemos bolsas de 7 canicas?«:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/09/05/y-si-hacemos-bolsas-de-7-canicas/ Se explican los criterios para saber si un número es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 o 10. Muy chulo el método para ‘detectar’ a los múltiplos de 7

«Una de camellos«:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2013/01/02/3274/ Un acertijjo con fracciones y divisibilidad.

«¡Más fracciones!«:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2013/01/30/mas-fracciones/ Sobre suma de fracciones y el uso del mínimo común múltiplo.

Ah, este capítulo está dedicado a mi hijo Salvador y a sus compañeros de 1º de ESO porque fue él quien me pidió que escribiera sobre este tema que están dando esta semana en clase

¡Hasta pronto!

Clara

La entrada El 52 no es primo fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

—Y yo, Ven, me muero de ganas de ver a Siriki –respondió el gafotas.

—¡Guau! —dijo Gauss que también estaba impaciente.

Nuestros amiguitos están esperando a su nuevo primo. Siriki, que llega desde Costa de Marfil. Solo lo han visto en fotos y tienen muchas ganas de verlo en persona. Tienen muchas ganas de presentarle a sus amiguitos y de jugar con él.

—Pero, ¿cuándo viene este avión? —se volvió a quejar Ven.

—Son solo 20 minutos de retraso, han dicho –dijo Sal.

—Pues, ¡son los 20 minutos más largos de la historia! —exclamó el pequeño.

—Ven, los minutos son siempre igual de largos, no… —empezó a explicar Sal pero Ven le interrumpió:

—Vale, vale, gafotas. Era una forma de hablar.

—¿Qué le pasa a este chico que está tan enfadado? —dijo Mati que acababa de llegar mientras alborotaba el pelo de Ven.

—No estoy enfadado, Mati –dijo este –. Estoy nervioso, quiero que llegue ya.

—Todos queremos que llegue ya, cielo –respondió esta –, como mucho dentro de media hora, estaréis con él.

Ven estaba tan tenso que no movió ningún músculo de la cara, Sal tenía la mirada perdida en el infinito y Gauss se acercó a Mati para que esta lo acariciara.

—¿Os enseño un juego muy sencillito mientras que viene Siriki? —propuso la pelirroja.

—Vale –contestó Sal sin mucho entusiasmo, Ven no dijo nada.

—Es un juego en el que Ven seguro que es muy bueno… —dijo Mati.

Ven miró de reojo a Mati, volvió a mirar el panel de llegadas del aeropuerto, volvió a mirar a su amiga y dijo:

—¿Es de adivinar series?

—No, es de conseguir llegar a una cantidad, sumando, antes que tu adversario, ¿te atreves?

—Venga, vale –aceptó el pequeño.

—Veréis –empezó a contarles Mati –, cada uno de vosotros, por turnos, dice un número natural entre 1 y 3. Se van sumando los números que vais diciendo y el primero que llega a 51, gana.

—Qué fácil… –murmulló Ven.

—Yo empiezo –dijo Sal – ¡2!

—Más 1, 3 —dijo Mati.

—Más 3, 6 –dijo el gafotas.

—Más 1, 7 –siguió ella.

—Más 2, 9 –Sal.

—Mas 2, 11 –dijo Mati.

—Más 3, 14 –continuó Sal.

—Más 1, 15 –respondió la gafotas.

—Más 3, 18.

—Más 1, 19.

—Más 2, 21.

—Más 2, 23.

—Más 1, 24.

—Más 3, 27.

—Más 2, 29.

—Más 2, 31.

—Más 3, 34.

—Más 1, 35.

—Más 2, 37 –dijo Sal que empezaba a temer por la derrota.

—Más, 2, 39.

—Más 3, 42.

—Más 1, 43.

—Más 3, 46.

—Más 1, 47.

—Más 1, 48 —resopló Sal que sabía que ya había perdido.

—Más 3, 51 –dijo Mati triunfante.

—Pues no era tan fácil –dijo Ven con una sonrisa pícara.

—Bueno, bueno –dijo la pelirroja –, tengo que decir que yo sabía la estrategia ganadora…

—¡Así no vale! —protestó Sal.

—¿Queréis que os la cuente? —preguntó ella.

—¡Vale! —aceptó Ven con alegría.

—Para ello –les dijo –, voy a pintar un «grafo»:http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo.

—¡Ole! —dijo el pequeño al que le encantan los grafos de Mati.

—Os lo cuento con el juego hasta 17 en lugar de hasta 51, que es más fácil. Vamos a poner cada número, del 1 al 17, en circulitos –siguió ella –, y pondremos flechas de un número a otro si se puede llegar del primero al segundo sumando 1, 2 y 3. Por ejemplo, del 1, podemos llegar solo al 2, al 3 y al 4.

—Ahora –dijo Mati –, completamos con todas las flechitas:

—Qué grafo tan molón… —dijo Ven sonriendo.

—Señalamos el número al que queremos llegar –siguió la gafotas –, es decir, el 17.

—Ahora señalamos el primer número, en orden decreciente, que no puede llegar al 17 –dijo Mati –, es decir, el 13., porque desde el 14, el 15 y el 16 podemos llegar a 17 sumando 1, 2 o 3.

—Repetimos el proceso –continuó – y señalamos el primer número, en orden decreciente, que no puede llegar al 13. Esto es, el 9.

—Se trata de ir restando 4, ¿no, Mati? —preguntó Sal.

—Eso es, muy bien –contestó ella –. Por eso, ahora señalamos el 5.

—¡Solo falta el 1! —gritó Ven.

—Efectivamente –confirmó Mati.

—Ya está –anunció la pelirroja –. La estrategia ganadora consiste en caminar por esos círculos amarillos, como Dorothy en El Mago de Oz, siguiendo las baldosas amarillas.

—¿¿Cómo?? —preguntó Ven.

—Esta es una estrategia ganadora para el primer jugador –explicó Mati –. Si empiezas diciendo 1, tu adversario no puede elegir ninguna de las baldosas amarillas, es decir, no puede ir al 5, porque las baldosas amarillas no están conectadas en el grafo. Por lo tanto, si tú estás en un círculo amarillo, tu contrincante no podrá llegar en la siguiente jugada a otro círculo amarillo.

—Ajá –asintió Ven con cara de interesante.

—Sin embargo –continuó Mati –, desde cualquier baldosa blanca, se puede llegar a la siguiente baldosa amarilla. Por eso, si tú dices 1, diga lo que diga tu adversario, tú puedes llegar al 5, que es la siguiente baldosa amarilla.

—¡Toma! ¡Es verdad! —Ven estaba alucinando.

—Qué chulo, Mati –dijo el gafotas.

—Lo es –dijo ella con un guiño –. Se trata solo de identificar las baldosas amarillas, podéis hacerlo mentalmente comenzando por el número al que queréis llegar e ir restando de 4, en 4. Si jugáis hasta el 51, las baldosas amarillas serán: 51, 47, 43, 39, 35, 31, 27, 23, 19, 15, 11, 7 y 3. Es decir, tenéis que comenzar diciendo 3 y después seguir a la baldosa 3+4, 7, diciendo lo que falta según lo que elija vuestro contrincante.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —Ven estaba feliz.

—Pero solo sirve si tú empiezas, ¿no? —quiso saber Sal.

—Bueno, sí tu adversario no conoce la estrategia ganadora y comienza en una baldosa que no sea amarilla, también puedes ganar –dijo ella.

—Ah, ya lo veo –dijo Sal –. Si jugamos al 17 y el primer jugador dice 2, por ejemplo, yo digo más 3, llego al 5 y ya no me puede alcanzar, ¿no?

—Eso es, muy bien –confirmó Mati –. En el momento en el que uno de los jugadores se coloca en un círculo amarillo, si sigue saltando de 4 en 4 y no se sale del camino de círculos amarillos, ya ha ganado.

—¡Me encanta! —dijo Ven abrazando a Gauss.

—Hay una variante de este juego –siguió Mati –que se llama la versión miseria, en la que pierde el que llega al último número, al 17. Es decir, el que no tiene más remedio que elegir el 17.

—¿Y hay estrategia ganadora para ese? —preguntó Ven.

—Claro –intervino Sal –, solo que tú tienes que marcarte como objetivo el 16 y así no tendrá más remedio que sumar 1 y pillar al 17.

—Muy bien, Sal –exclamó Mati –, eso es. Pero no siempre esa estrategia ganadora es para el primer jugador: para 17 con miseria, la estrategia es para el segundo jugar. Depende del número final que marquemos.

—¿Cómo? ¿El segundo jugador tiene que empezar con el 1, Mati? —preguntó el pequeño — ¡Eso es imposible!

—No, no es eso, tranquilo –dijo Mati con mueca cómica –, vamos a pintar el grafo:

—Pero no puedo empezar con el 4 –protestó Ven.

—Por eso –dijo ella –, en este caso, la estrategia ganadora es para el segundo jugador, porque diga lo que diga el primero, el segundo elegirá el 4 y sumando de 4 en 4, seguirá la ruta de las baldosas verdes, llegará al 16 y habrá ganado.

—Bueno, Mati –intervino Sal –si jugamos a la versión miseria, jugamos hasta el 18, y empezando en el 1 tienes estrategia ganadora para el primer jugador, ¿no?

—Claro –confirmó Mati –la estrategia del primer jugador para ganar al 17 en la versión normal, es la estrategia para ganar con miseria al 18.

—Y entonces –dijo Ven –la estrategia para ganar con miseria al 17 del segundo jugador, es la estrategia para ganar normal al 16 para el segundo jugador, ¿no?

—Pero, bueno, ¡qué chicos tan listos!

—¡Grrrrrrrrrrrrr! —protestó Ven con pelusilla ante la desmesurada, según su opinión, atención que Mati estaba dedicando a sus dueños.

—Ahora lo tengo claro –dijo el gafotas –: si quiero ganar empezando yo, con el juego normal, empiezo desde 1, 2 o 3, voy sumando de 4 en 4, y elijo un número al que llegar de esos. Por ejemplo: 2+4+4+4+4+4+4+4+4+4 es 38, así que propongo jugar al 38, empiezo yo en 2 y sigo por 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34 y 38.

—Ajá –asintió Mati.

—Y si quiero ganar al juego normal pero dejando a mi adversario empezar –siguió Sal –, elijo el 4. voy sumando de 4 en 4 y elijo un número al que llegar, por ejemplo 36, porque ahora tiene que ser múltiplo de 4. Diga lo que diga mi oponente, yo sumo hasta el 4 y luego sigo 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 y 36.

—Perfecto –dijo Mati.

—Y para ganar con miseria, Mati –interrumpió Ven –, si soy el primero en jugar, para ganar, elijo 1, 2 o 3, sumo de 4 en 4, elijo un número cuando quiera y sumo 1. ¿no? Por ejemplo: 3+4+4+4+4+4 es 23, más 1, 24. Si juego con miseria hasta el 24, empiezo en el 3, salto de baldosa en baldosa, 3, 7, 11, 15, 19 y 23, y ya he ganado.

—Maravilloso –dijjo Mati a la vez que hacía una graciosa reverencia.

—Pero para ganar con miseria si empiezo el segundo –siguió Ven –, elijo un múltiplo de 4 y le sumo 1. Por ejemplo, 21. empiezo en 4, salto de baldosa en baldosa, 4, 8, 12, 16 y 20, y le gano.

—Estoy alucinado con mis chicos –dijo Mati.

—Se lo enseñaremos a Siriki cuando llegue –dijo Sal.

—Posiblemente –intervino la gafotas –, Siriki llegue muy cansado después de un viaje tan largo… Pero como se queda con nosostros para siempre, tendréis tiempo de enseñarle este juego y muchísimos más.

—¡Yo quiero enseñarle a jugar al fútbol! —dijo Ven.

—Podréis enseñarle muchísimas cosas –dijo Mati.

—Y tenemos que enseñarle a hablar castellano, no os olvidéis –dijo Sal con un guiño.

—¡Y catalán! —interrumpió Ven –Como nuestra «Raquel»:http://laradibuixa.blogspot.com.es/.

—Claro –dijo Mati, el catalán se lo encargamos a Raquel, que lo hará mejor que nosotros.

—Pues yo me sé una canción en catalán, Mati –dijo Ven ofendido –, se llama «Pa amb oli i sal»:http://www.youtube.com/watch?v=Hkc5piclElghttp://www.youtube.com/watch?v=Hkc5piclElg

—También se la puedes enseñar, cielo –sonrió Mati –¿Sabéis? Este juego de números también se puede jugar con los palitos chinos…

—¿Los del mikado? —interrumpió el pequeño.

—Esos –dijo ella –, ponemos 51 palillos (o los que sean) sobre la mesa, en fila, y cada jugador debe coger en cada turno, 1, 2 o 3 palillos. En la versión normal, ganaría el que cogiese el último palillo y en la versión miseria, perdería el que estuviese obligado a coger el último palillo.

—Claro, mola mucho así también, Mati –dijo Sal.

—¡Le enseñaremos también a jugar al 51 con los palillos! —exclamó Ven.

—A lo que queráis… —dijo Mati y añadió señalando por encima de las cabezas de Sal y Ven –. Por cierto, ya podéis empezar…

—¡¡¡¡SIRIKI!!!!

FIN

La entrada El primero que diga 51, gana fue escrita en Mati y sus mateaventuras.

—¿Sabes que las partículas cuánticas pueden estar en dos sitios a la vez? —preguntó el mayor despertando de sus pensamientos.

—Sí, claro, entonces son como mamá que parece que está en todos los sitios a la vez —sentenció Ven. Ambos hermanos rieron ante la ocurrencia del pequeño.

—En serio, lo acabo de leer. Además, para ir de un sitio a otro lo hacen por todos los caminos posibles —dijo Sal mirando a su hermano de forma cómplice.

— Oye, Sal, ¿para qué queremos meter a Gauss en la caja? —preguntó Ven de pronto.

—Para hacer un experimento que nos hará famosos ya que aclararemos uno de los misterios más interesantes de la cuántica —Sal ya veía su nombre en los libros de física.

—Tú eres un moderno… —concluyó Ven mirando a su hermano de reojo.

Entre tanto, Gauss, estudiaba la forma más rápida de escapar de los muchachos aprovechando la discusión entre ambos.

—¿Qué hacéis muchachos? —preguntó Mati al entrar en la habitación acompañada de Fis.

—¡Mati! ¡Fis! —gritaron los muchachos llenos de alegría al ver a sus dos amigos.

—¡Vaya! ¡Qué interesante! —dijo Fis al ver lo que los chavales están perpetrando.

—Fis, vamos a intentar hacer el experimento del Escrodinger ese —soltó Ven haciendo ver que era lo más normal del mundo.

—Pues espero que seáis más cuidadosos con el protocolo experimental de lo que fue Schrödinger, no creo que Gauss esté muy dispuesto a pasar por ese mal trago —comentó Fis divertido.

—Pero, ¿por qué es tan famoso ese experimento? —preguntó Sal.

—Porque esconde los secretos de eso que se llama Física Cuántica —respondió Fis.

—¿Nos lo explicas? —preguntó Mati, sonriendo.

—Con mucho gusto —respondió el físico con una graciosa reverencia y un guiño.

—Imaginemos que tenemos una caja y que en ella, Mati, con mucho cuidado, mete a Gauss sin decirnos nada más. Puede meter a Gauss despierto o dormido. Nosotros no sabemos si ha metido a Gauss despierto o dormido, pero lo que sí sabemos es que cuando abramos la caja tendremos 50% de encontrarlo despierto o el 50% de encontrarlo dormido. Es lo lógico, ya que así es como lo ha metido Mati en la caja, si lo ha metido despierto, al abrir la caja así lo encontraremos y en el caso de haberlo metido dormido pues lo encontraríamos de esa forma. Claro está que en este experimento estamos suponiendo que tenemos la misma probabilidad de meter a Gauss dormido que despierto y que no le da tiempo a cambiar de estado antes de que nosotros abramos la caja. Supongo que todos podemos creernos esta pequeña hipótesis del problema —dijo Fis guiñando un ojo a los chavales.

—Aquí lo importante es que estamos trabajando con dos propiedades del sistema físico, Gauss, que son mutuamente excluyentes, no se pueden dar a la vez: si Gauss está despierto no puede estar dormido a la vez y viceversa —siguió explicando Fis –. Según la física de los objetos grandotes, como Gauss, no puede estar en esos dos estados a la vez, así que el resultado de abrir la caja en las condiciones anteriores no es nada sorprendente. Tenemos un 50% de encontrarlo despierto y un 50% de encontrarlo dormido porque ignoramos cuando ha decidido Mati meterlo en la caja. Lo que está claro es que si lo encontramos dormido, por ejemplo, es que Mati lo metió así en la caja.

—Sí, eso es lo lógico — dijo Ven haciéndose el interesante.

—Claro, según lo que estás contando, no podría ser de otra forma —afirmó Sal muy seriamente.

—Bueno, pero eso es lo usual en las cosas que nos rodean. Esas cosas suelen ser grandes y su comportamiento físico viene descrito por las leyes de lo que se conoce como Física Clásica —precisó Fis –. Según esas leyes un objeto tiene una única posición definida, una única energía definida, etc. Y cuando lo miramos, o efectuamos una medida de sus características físicas con un aparato, ese estado no se modifica. Las cosas son como son en Física Clásica —afirmó Fis.

Los niños miraban a su amigo con los ojos abiertos de par en par, este continuó:

—Sin embargo, la Física es algo más, mucho más en realidad, que la Física Clásica. Hoy día conocemos que en el rango del átomo operan unas leyes físicas que nos resultan sorprendentes. Ese es el reino de la Física Cuántica. Aplicar las leyes cuánticas a ejemplos de cuerpos grandotes, como Gauss, siempre implica un punto de confusión. Así que uno tiene que ser cuidadoso con los ejemplos y tener claro que son simplemente ejemplos. Son situaciones sacadas de contexto para poner de manifiesto algún aspecto de la cuántica, de cosas que pasan a nivel atómico y que a nuestra escala nos resultarían del todo chocantes porque nunca hemos tenido experiencia directa de ellas.

Gauss ladró y asintió con la cabeza.

—Pero ahora, vamos a suponer que nuestro amigo Gauss es un ser que se rige por leyes distintas a la de la Física Clásica, esas leyes forman lo que conocemos como Física Cuántica. Y como veremos pasan cosas muy chulas con esas leyes —dijo Fis a los niños y a Mati.

—¡Sigue, sigue! —le animó el gafotas.

—En lo que sigue tenemos que imaginar que Gauss es como un electrón o como una partícula elemental de esas que ya hablamos cuando presentamos a nuestro amigo el bosón de Higgs —concluyó Fis —¿Está claro, amigos?

Los niños asintieron con cara de estar entrando en un mundo desconocido y fascinante.

—Bien, entonces podemos imaginar que tenemos a nuestro Gauss Cuántico. Al nuevo amigo, Gauss Cuántico, lo vamos a representar así:

—Lo fascinante de la cuántica es que nos dice que nuestra nueva mascota, Gauss Cuántico, puede estar A LA VEZ en el estado despierto y dormido. Es decir, podemos tener Gauss Cuánticos en los que ambas situaciones se dan simultáneamente (*). Eso lo representaremos por:

—Si Mati mete un Gauss Cuántico en la caja, estará a la vez en los dos estados, despierto y dormido. Cuando nosotros abramos la caja ÚNICAMENTE obtendremos a Gauss en el estado despierto o el estado dormido. La probabilidad de obtener uno u otro es del 50%.

—De hecho, si Mati dispone de muchos Gauss Cuánticos y de muchas cajas y va metiéndolos en dichas cajas para que nosotros lo abramos en cada caso obtendremos un Gauss dormido o un Gauss despierto. No podemos predecir qué vamos a obtener en cada caso, si un Gauss despierto o un Gauss dormido.

—La cuestión es que si repetimos esto muchas veces al final habremos obtenido un 50% de Gauss despiertos y un 50% de Gauss dormidos. Al medir, el Gauss Cuántico, el que contiene la dos posibilidades, desaparece y únicamente nos quedamos con una de las dos opciones que lo formaban. A eso los físicos le dicen, colapso del estado cuántico.

Gauss volvió a ladrar, posiblemente, no le apetecía colapsar…

—Esto, muchachos, es una sorpresa tremenda, ¿qué pasaría si en vez de usar como ejemplo el Gauss Cuántico, usamos un electrón cuyo estado nos dice que está en una posición A o en una posición B diferente con un 50% de probabilidad? —-preguntó Fis.

—Que no sabríamos donde está el electrón hasta que no midiéramos su posición, ¿verdad? —dijo Sal satisfecho —. Que mientras no midiéramos la posición, ese electrón estaría en un estado con información simultánea de las dos posiciones.

—Vaya, me gustaría ser un electrón de esos, así podría estar en clase y en recreo al mismo tiempo —dijo Ven viendo un mundo de posibilidades cuánticas a su alcance.

Todos rieron con la ocurrencia del pequeño. Fis terminó diciendo:

—La Física Cuántica nos enseña que en el universo las cosas no siempre son como estamos acostumbrados que sean. Hay partículas como los electrones que se comportan siguiendo unas leyes diferentes y sorprendentes. Es muy difícil de imaginarse dicho comportamiento, sin embargo, hemos conseguido aprender a manejar estas leyes y hemos construido rayos láseres, pantallas de ordenador, tabletas, ordenadores, y mil cosas más que no serían posibles sin la Física Cuántica.

—Alucinante… —suspiró Ven mientras Sal abrazaba con fuerza su nuevo libro.

—El mundo depara miles de sorpresas y de misterios y, algún día, vosotros daréis respuestas a muchas preguntas que hoy por hoy nos hacemos respecto a la Física Cuántica —les dijo Fis a los muchachos.

Mientras tanto, en el mundo de Gauss Cuántico, este iba a por su hueso desde su casa… Otro día hablaremos de esto.

(*) La forma en la que se han definido los estados cuánticos no es correcta. En realidad, en dichos estados no aparecen las probabilidades directamente tal y como hemos escrito. En realidad, en la combinación de estados, Gauss despierto y Gauss dormido, tendríamos que poner unos coeficientes tales que al elevarlos al cuadrado nos darían la probabilidad de obtener cada una de las posibilidades. Además, estos coeficientes suelen ser números complejos.

Hemos preferido presentarlo así para intentar transmitir dos ideas: Los estados cuánticos pueden ser combinación de otros. Y los coeficientes condensan la información de la probabilidad que hay de obtener cada elemento de la combinación al efectuar una medida sobre el sistema que venga representado por ese estado. Ciertamente, hemos sacrificado la formalidad por la simplicidad de la discusión esperando con ello que una lectura en familia sea provechosa y divertida. Si estás interesado en los detalles más formales pulsa aquí y aquí.

FIN

Pues sí, hoy también hemos tenido el honor de que Fis nos visite y nos explique el famoso experimento del gato de Schrödinger, para que entendamos los chistes que hacen los mayores con él.

Si quieres saber aún más sobre Física Cuántica, te recomiendo que te des un paseo por su blog, Cuentos Cuánticos. Por cierto, ¿sabéis ahora a qué hace referencia el logo de su blog?

Volvemos pronto con más historias, no dejéis de mirar al cielo, a vuestro gato, no dejéis de soñar… ni de querer entender nuestro Universo, porque hay mucho aún por descubrir…

Hasta muy pronto,

MATI

La entrada Cincuenta por ciento despierto, cincuenta por ciento dormido fue escrita en Mati y sus mateaventuras.